Расчет наслонного стропила, опирающегося на мауэрлат и прогон

Расчет сечения наслоного стропила и ригеля-схватки

Алгоритм расчета сечений стропильной системы, без конькового прогона, опертой на мауэрлат и промежуточный прогон

В данном калькуляторе представлена стропильная система, в которой нет конькового прогона. Стропила опираются на мауэрлат и прогоны, под средней частью стропил, а их верх упирается друг в друга. Это система неустойчивого равновесия. Под тяжестью кровли и снега стропила могут повернуться вокруг средних опор. Чем больше величина пролета от среднего прогона до конька, тем больше крутящий момент. Поэтому в такой стропильной системе обязательным элементом, превращающим конструкцию крыши в стабильную, будет схватка, связывающая стропила.

Стропила здесь, это двухпролетные неразрезные балки, в которых крайней (коньковой) опорой выступает другое стропило. В отличие от других расчетных схем в калькуляторах с двухпролетными неразрезными стропилам представленных на сайте, в этой расчетной схеме кроме изгибающего момента на стропило действует еще и сжимающая сила N возникающая от действия второго стропила. Верхний конец второго стропила давит в торец первого и сжимает его. Поэтому стропило на прочность рассчитывается как сжато-изогнутая балка. Максимально нагруженное сечение находится на средней опоре, а максимальные прогибы — в пролетах. Калькулятор также производит расчеты на срез и смятие древесины на опорах.

Сжимающая N спроецированная на горизонтальную ось дает растягивающую силу H, которую перехватывает и нейтрализует схватка. Обычно эту силу называют — распором.

Стропильные схемы без конькового прогона применяются для чердачных и мансардных крыш. В чердачных крышах схватки работают на растяжение, в мансардных, где на схватке размещают конструкцию потолка мансарды — на растяжение с изгибом. Схватку здесь лучше называть ригель-схваткой, что больше соответствуют характеру ее работы.

Калькулятор рассчитывает сечение стропил по формулам сжато-изогнутой, а сечение ригеля — растянуто-изогнутой балки.

Возникновение распора в наслонной стропильной системе без конькового прогона делающей обязательной установку схватки не единственный сюрприз данной схемы. При значительном превышении длины одного пролета над другим (примерно в соотношении 1 к 3) в крайней точке короткого пролета получается отрицательная опорная реакция, отрывающая стропило от опоры. Когда опорные реакции положительные, крепление стропила к опоре носит конструктивный характер, если они отрицательные — крепежные узлы нужно рассчитывать. Отрицательная реакция может возникнуть как на мауэрлате, так и в коньковом узле. Для того чтобы стропила не оторвались от опор они должны быть к ним надежно прикреплены гвоздями, винтами, скобами или другими приспособлениями. Например, плохо прикрепленные стропила могут оторваться либо от мауэрлата, либо вместе с мауэрлатом от стены, либо вместе с мауэрлатом и куском стены. Все зависит от величины выдергивающей силы и качества крепежа.

Калькулятор выводит на экран значения сил, отрывающих стропило, но не рассчитывает крепеж. Этот расчет будет реализован в другом калькуляторе в виду разнообразия методов крепления. При расчете конструкции с отрицательными опорными реакциями калькулятор покажет предупреждение. Подумайте стоит ли проектировать такую конструкцию крыши. Еще не поздно изменить расчетную схему и запроектировать другие размеры конструкций, при которых не возникает отрицательных опорных реакций (выдергивающей силы). Сделать простые узлы, в которых мауэрлат просто укладывается на стены, а концы стропил прибиваются одним–двумя гвоздями и привязываются проволокой на случай ураганного ветра.

При возникновении отрицательной опорной реакции в коньковом узле появляются силы разрывающие соединение верха стропил. Здесь мы тоже можем рассчитать крепеж и надежно соединить верх стропил, но сжимающая N меняет свой знак и становится растягивающей силой. Если раньше соседнее стропило опиралось на рассчитываемое стропило и сжимало его, то теперь оно тянет его вверх. Сжимающая сила превратилась в растягивающую. Поменяет свой знак и её горизонтальная проекция — ригель-схватка будет работать на сжатие.

Калькулятор учитывает все возможные варианты нагружения стропильной конструкции, размеры пролетов и высоты. При возникновении в стропиле растягивающей силы, калькулятор рассчитывает элементы на растяжение либо на растяжение с изгибом в зависимости от возникающих в конструкции сил и направления их действия.

Далее показаны формулы расчета консольной неразрезной двухпролётной балки. Для расчета такого же стропила, но без консольного свеса в приведенные ниже формулы нужно поставить значение длины консоли равное нулю (c = 0).

Расчет на прочность

Расчетная равномерно распределенная нагрузка, действующая по площади крыши Q_р (кг/м²) умножением на шаг установки стропил L (м) переводится в линейную, действующую на одно стропило q_р (кг/м).

q_р = Q_р × Lq_р

Определяется момент на опоре А:

M_A = -q_рс²/2

Определяется дополнительный момент на опоре В:

M_Bд = -M_A·a/2L

В итоге момент на опоре В составит:

M_B = -q_р·(a³ + b³)/8L + M_Bд

Дополнительные опорные реакции:

T_Aд = q_рc - М_A/a + M_Bд/a
T_Cд = M_Bд/b
T_Bд = М_A/a - M_Bд/a – M_Bд/b

Итоговые опорные реакции:

T_A = q_рa/2 + M_B/a + T_Aд
T_C = q_рb/2 + M_B/b + T_Cд
T_B = q_рL/2 + M_B/a + M_B/b + T_Bд

Максимальный изгибающий момент в первом пролете будет находиться в точке, расположенной на расстоянии X_M1 от начала балки:

X_M1 = T_A/q_р
M₁ = T_A·(X_M1 - с) - q_р·X_M1²/2

Максимальный изгибающий момент во втором пролете будет находиться в точке, расположенной на расстоянии X_M2 от конца балки:

X_M2 = T_С/q_р
M₂ = T_С·X_M2 - q_р·X_M2²/2

При значительном превышении длины одного пролета над другим эпюра моментов не пересекает продольную ось стропил. Прогиб стропила будет направлен в обратную сторону, а эпюра изгибающего момента не будет иметь экстрима. В этом случае величину изгибающего момента в данном пролете можно не рассчитывать, он все равно будет меньше момента на опоре, а прогиб стропила будет меньше, чем в соседнем более длинном пролете. Однако калькулятор делает этот расчет вычисляя величину изгибающего момента в месте максимального прогиба стропила. Очевидно, в этом пролете здесь находится самое опасное напряжение. И наоборот, при вычислении прогибов, калькулятор проверяет прогибы пролетов в местах максимальных изгибающих моментов. При ручных расчетах такие вычисления не делаются, но у нас считает калькулятор, а на схеме стропильной системы нарисованы обозначения разрезов 1–1 и 2–2 так что пусть калькулятор рсчитает значения размеров сечений и в этих местах.

Сила N сжимающая рассчитываемое стропило возникает от действия второго стропила. Оно своим верхом упирается в верх первого стропила и давит на него. В крыше с равными длинами скатов и равномерно распределенной нагрузкой опорные реакции обоих стропил в точке C будут одинаковыми поэтому сжимающая сила будет равна:

N = T_С / sinα

Напряжение в сжато-изогнутом стропиле не должно превышать расчетного напряжения сжатия R_сж. Оно рассчитывается по формуле:

σ = N / F + M / (ξ·W) < R_c   ,

где F — площадь сечения (F = b×h), W — момент сопротивления сечения (W = b × h² / 6), ξ — коэффициент, учитывающий влияние возрастания изгибающего момента вследствие прогиба элемента ξ = 1 - λ²·N / (3000·R_сж·F).

Используя значения сжимающей силы и изгибающего момента в расчетных сечениях и последовательно подставляя различные размеры сечения (b и h) находится напряжение σ и сравнивается с R_c. Калькулятор делает это перебором значений высоты h при известной ширине b до тех пор пока напряжение σ не будет максимально близким к расчетному R_c. Коэффициент ξ учитывается при расчете напряжений в пролетах и не учитывается при расчете напряжений на опорах A и B, так как на опорах нет дополнительного прогиба от действия сжимающей силы. На опорах вообще нет прогиба, а в пролетах есть.

Напряжение в растянуто-изогнутом стропиле не должно превышать расчетного напряжения растяжения R_р. Оно рассчитывается по формуле:

σ = N / F + M·R_р / (R·W) < R_р   ,

где F — площадь сечения (F = b×h), W — момент сопротивления сечения (W = b × h² / 6), R_р и R — расчетные сопротивления древесины растяжению и изгибу.

Расчет на прогиб

Нормативная равномерно распределенная нагрузка, действующая по площади крыши Q_н (кг/м²) умножением на шаг установки стропил L (м) переводится в линейную, действующую на одно стропило q_н (кг/м).

q_н = Q_н × L

Фактическая длина пролетов стропила, расположенного под углом α, равна:

P_1α = P₁ / cosα
P_2α = P₂ / cosα

Нормируемый прогиб стропила должен быть не более 1/200 длины наибольшего пролета:

f_1н = P_1α / 200
f_2н = P_2α / 200

Расчетный прогиб в пролетах f_р рассчитывается по формуле двухпролетной балки для первого и второго пролета соответственно:

f₁ = (x₁·((4·T_a^н·P₁² - q_н·P₁³)) + 4·T_a^н·x₁³ - q_н·x₁⁴) / (24·E·I₁·cosα)
f₂ = (x₂·((4·T_c^н·P₂² - q_н·P₂³)) + 4·T_c^н·x₂³ - q_н·x₂⁴) / (24·E·I₂·cosα)

Где T_a^н и T_c^н опорные реакции от нормативной нагрузки:

T_a^н = 0,5·q_н·P₁ - M_b^н / P₁
T_c^н = 0,5·q_н·P₂ - M_b^н / P₂

I₁ и I₂ моменты инерции в первом и втором пролетах:

I_i = b_i·h_i³ / 12

Значения x₁ и x₂ показывают расстояние до точки, в которой стропило будет иметь максимальный прогиб. Она находится в первом или втором пролете в зависимости от того который больше. Для первого пролета эта точка отсчитывается вправо от опоры A, для второго — влево от опоры C. Для нахождения точек x₁ и x₂ нужно решить кубические уравнения:

q_н·x₁³ / 6·E·I - T_a^н ·x₁² / 2·E·I + (4·T_a^н·P₁² - q_н·P₁³) / 24·E·I = 0
q_н·x₂³ / 6·E·I - T_c^н ·x₂² / 2·E·I + (4·T_c^н·P₂² - q_н·P₂³) / 24·E·I = 0

Решение уравнений с неизвестным в третей степени сложная задача. Если вы будете проверять калькулятор, то воспользуйтесь онлайн-сервисами, они есть в интернете. Калькулятор решает эти уравнения в процессе расчета стропила.

Формулы вычисления прогибов f, представленные выше, выведены для балок, нагруженных только равномерно распределенной нагрузкой, но в нашем случае на стропило давит еще сжимающая сила, увеличивающая прогиб. Поэтому прогиб сжатоизогнутых стропил должен быть увеличен на коэффициент φ.

φ = 3000 / λ²

λ — гибкость стропила. λ = l₀ / i, где l₀ — приведенная длина сжатого стержня; i — радиус инерции сечения относительно высоты или ширины. Гибкость стропила λ не должна быть более 120.

Общий расчетный прогиб сжатоизогнутого стропила не должен превышать нормативного прогиба, он рассчитается по формуле:

f_рi = f_i / φ ≤ f_н

При известной толщине стропила b последовательно перебирая значения высот h подбирается такая высота стропила при которой оно не прогнется больше нормированного предела f_н. Калькулятор последовательно перебирает цифры всякий раз вычисляя гибкость λ, коэффициент φ и момент инерции I, подставляет их формулу прогиба, рассчитывает прогиб и сравнивает его с нормативным. Вычисления производятся до тех пор, пока не будет подобрана оптимальная высота сечения, при которой соблюдены все условия по гибкости и величине прогиба. В растянуто-изогнутом стропиле производятся аналогичные вычисления, но без учета коэффициента гибкости.

На этом расчет на прогиб заканчивается. Получили еще один результат значений высоты сечения стропила. Эти размеры сечения обеспечивают жесткость стропила достаточную для того, чтобы стропило не прогнулось под нагрузкой сверх допустимого.

Расчет на срез (скалывание)

Для расчета на срез (скалывание) находим величину максимальных перерезывающих сил, действующих перпендикулярно оси стропила Т (кг). Они располагаются на опорах и находится по формулам:

T_a^α = T_a × cosα
T_b^α = T_b × cosα

Рассчитываем высоту сечений на опорах:

h_a = 1,5·T_a^α / (R_сж·b)
h_b = 1,5·T_b^α / (R_сж·b)

На этом расчет на срез закончен. Получили значений высот сечения стропила. При соблюдении этих размеров расчетная нагрузка не перережет стропило в местах опирания.

Определение размеров сечения

Далее, как и во всех предыдущих калькуляторах производится проверка правильности выбора высоты калькулятора. В каждом сечении рассчитываются напряжения скола, сжатия, растяжения, изгиба, прогиба и сверяются с предельно допустимыми напряжениями и прогибами. Если напряжения в сечениях находятся в пределах нормы переходят к следующему этапу расчета. Стропило будет сделано из доски постоянного сечения, поэтому определяется наибольшая высота ее сечения из всех рассчитанных.

Доски пилятся на бесчисленном количестве лесопилок, раскиданных по стране, но все они изготавливают доски по единому государственному стандарту - Сортаменту Пиломатериалов. Подбирается в сортаменте наиболее близко подходящий размер доски по рассчитанному сечению и производится третий расчет напряжений в стропиле используя уже размеры доски из сортамента.

Ригель-схватка

С этим элементом все достаточно просто. По расчетной схеме ригель-схватка это балка, работающая на растяжение или иногда на сжатие. Если по ним делают перекрытие мансарды, то к работе на сжатие или растяжение добавляется работа на изгиб.

Нет необходимости еще раз расписать формулы расчета балок, работающих на сжатие с изгибом или на растяжение с изгибом. Они уже расписаны для стропил. Однако необходимо упомянуть о том, что в крышах с такой расчетной схемой сечения схваток, работающих только на растяжение или сжатие, получаются очень маленькими. Поэтому после расчета размеры сечения схваток выбираются не по расчетным, а по конструктивным соображениям. Например, смотрят на то, чтобы при креплении схватки к стропилу ее не расколол гвоздь. Калькулятор позволяет изменить ширину схваток и пересчитать их отдельно от стропил.

Ригель-схватки работающие как балки перекрытия мансарды, наоборот, могут получиться больших сечений. В этом случае стоит подумать о том, чтобы схватки не нагружать весом перекрытия — сделать работающими только на горизонтальные нагрузки растяжения или сжатия, а вертикальные нагрузки — передать на другие балки, опирающиеся на прогоны. То есть разделить нагрузки и передать их на разные конструкции. В схеме крыши есть полноценные прогоны, опирающиеся на подстропильные конструкции, которые можно дополнительно нагрузить, не задевая стропильную систему. Иными словами, рядом со схватками прикрепленным к стропилам, положить на прогоны другие балки и уже по ним организовать перекрытие мансарды.