Расчет накосного стропила

Расчет сечения наслоного стропила расположенного на ребре вальмы

PcPвL2L1LВид АУклон вальмы равен уклону скатаребро вальмыЦТ PcPвL2L1LВид АСкат круче вальмыребро вальмыЦТ PcPвL2L1LВид АВальма круче скатаребро вальмыЦТ

Вид А

111–1AAA–ADDD–DQHLαL'h1b1hAbAhDbD 11CCAADD2–21–1C–CA–AD–DQHLαβL1L2L'1L'2h1b1h2b2hAbAhCbChDbD 2–21–1C–CA–AD–D1122CCAADDQHLαL1L2L'1L'2h1b1h2b2hAbAhCbChDbD 2–21–13–3C–CB–BA–AD–D223312CCBBAADDQLHαβL / 3L / 3L / 3L'1L'2L'3h1b1h2b2h3b3hAbAhBbBhCbChDbD q =RA =RD =M1 =q кг/мRa кгRd кгM1 кгм q =RA =RD =RC =M2 =M1 =MC =q кг/мRa кгRc кгRd кгM1 кгмMc кгмM2 кгм q =RA =RC =RD =MC =M1 =q кг/мRa кгRc кгRd кгM1 кгмMc кгм q =RA =RD =RC =MC =M2 =q кг/мRa кгRd кгRc кгMc кгмM2 кгм q =M3 =M1 =M2 =MB =MC =RC =RB =RD =RA =q кг/мRa кгRb кгRc кгRd кгM1 кгмMb кгмM2 кгмMc кгмM3 кгм q =RA =RB =RC =RD =M3 =M2 =MC =MB =q кг/мRa кгRc кгRb кгRd кгMb кгмM2 кгмMc кгмM3 кгм q =RA =RB =RC =RD =M1 =M2 =MC =MB =q кг/мRa кгRb кгRc кгRd кгM1 кгмMb кгмM2 кгмMc кгм q =M2 =MC =MB =RA =RB =RC =RD =q кг/мRa кгRb кгRc кгRd кгMb кгмM2 кгмMc кгм q =RA =RB =RC =RD =M1 =MB =MC =M3 =q кг/мRa кгRb кгRc кгRd кгM1 кгмMb кгмMc кгмM3 кгм

Для изготовления стропила подходит пиловочник (доска или брус), выбранный из сортамента ГОСТ 24454, сечением (b×h):

×

Толщину стропила можно набрать спариванием двух досок.

Напряженное состояние Расчетные напряжения и прогиб Предельно допустимые напряжения и прогиб Прочность доски использована на
Сечение A–A
Скалывание, кг/см² σск   Rск    
Сечение 1–1
Изгиб, кг/см² σ   Rизг    
Прогиб, см f   fн    
Сечение B–B
Скалывание, кг/см² σск   Rск    
Изгиб, кг/см² σ   Rизг    
Сечение 2–2
Изгиб, кг/см² σ   Rизг    
Прогиб, см f   fн    
Сечение C–C
Скалывание, кг/см² σск   Rск    
Изгиб, кг/см² σ   Rизг    
Сечение 3–3
Изгиб, кг/см² σ   Rизг    
Прогиб, см f   fн    
Сечение D–D
Скалывание, кг/см² σск   Rск    
Примечание. Процент использования прочности вычисляется для доски подобранной по сортаменту. C одинаковым размером сечениий по всей длине доски, без учета вырезов для опорания на прогоны и мауэрлат.

Дальнейший расчет стропила делается в калькуляторах размеров. Высоту стропила нельзя делать меньше, чем получено по расчету и указано на рисунке с расчетной схемой. Выбрать из сортамента доску с большей высотой сечения, чем показал расчет можно, меньше — нельзя. При проектировании и изготовлении стропила следите за глубиной опорных вырезов. Они не должны резать доску глубже расчетных сечений. Делать высоту над вырезом больше, чем указано для сечений над опорами можно, меньше — нельзя. При этом размер вырезов в стропиле должен быть не меньше указанных на рисунке ниже.

Обычно размер опорных вырезов назначают конструктивно исходя из размеров сечения прогонов и мауэрлата так, чтобы глубина выреза получались больше, чем необходимый минимум из расчета на смятие и так, чтобы оставшаяся над вырезом высота была больше, чем необходимый минимум из расчета на скол. На практике очень часто глубину выреза делают равной 3/4 или 2/3 высоты стропила, что не является обязательным условием. Важно так подобрать размер выреза, чтобы стропило передало нагрузку на опору с наименьшим эксцентриситетом, не переломилось на опоре и не смяло ее. Иными словами, размер выреза должен быть больше, чем показано на картинке внизу, а размер сечения над вырезом должен быть больше, чем показан на рисунке вверху.

Минимальная глубина опорных вырезов

Расчет показал толщину сечения стропила превышающую толщину существующих досок и брусьев. Изготовление пиломатериала толщиной более 275 мм не предусмотрено ГОСТом.

Попробуйте изменить расчетную схему установкой дополнительных подпорок

baкhкaмhм baмhмaпhпaкhк baмhмaшhшaпhпaкhк
План вальмы[i]
Конструкция стропила
Размеры по вертикали[i]
Нагрузка действующая на крышу[i]
Прочность и жесткость материала стропила[i]


Особенности расчета накосого стропила

Обычно накосное стропило не рассчитывают, традиционно его делают спариванием двух досок рассчитанных для изготовления рядовых стропил. Так ли необходима установка сдвоенных досок в крышах разных размеров и под разными нагрузками покажет данный калькулятор. Накосное (вальмовое) стропило рассчитывается после подбора сечения рядовых стропил. При этом расчет ведется от высоты сечения досок пригодных для изготовления рядовых стропил. У такой последовательности расчета есть разумное объяснение. Рядовые и вальмовые стропила устанавливаются на крыше рядом друг с другом и если они будут иметь одинаковые размеры по высоте, то не придется выравнивать верх, а в некоторых случаях и низ, плоскости крыши. Но у накосного стропила диагональное расположение, оно всегда длиннее рядового стропила. Значит сечение доски, рассчитанное для изготовления рядового, может оказаться недостаточным для накосного стропила. Поэтому логично задать высоту накосного стропила равной высоте рядовых стропил, а толщину подобрать такой, чтобы оно выдерживало давящую на него нагрузку.

Расчетные схемы

Авторы учебников строительной механики, по непонятной причине, дружно обошли стороной расчет балок нагруженных несиметричной равномерно убывающей нагрузкой, а это как раз то нагружение, которое присутствует на ребрах вальмы, там где устанавливается диагональное вальмовое стропило. Далее приведены три расчетные схемы с детальным выводом расчетных формул.

Нагрузка, действующая на накосное стропило собирается с площади четырехугольника образованного рядовыми стропилами ската и вальмы крыши. Она равна половине этой площади. Вторая половина площади нагрузки передается нижней частью нарожников на мауэрлат и дальше на стены. Рассчитывать сечение нарожников нет смысла они делаются из досок тех же размеров что и рядовые стропила, но значительно короче их, а значит заведомо выдержат нагрузку, действующую на крышу. Проверить нужно только сечение накосного стропила.

Нагрузка на вальме с равными наклонами скатов, действующая на накосное стропилоНагрузка действующая на накосное стропило, когда скат круче вальмыНагрузка действующая на накосное стропило, когда вальма круче ската

Необходимо подчеркнуть, нагрузка действующая на накосное стропило всегда равна половине площади грузового прямоугольника и независит от величин пролета вальмы и ската крыши. Пролеты ската и вальмы могут быть одинаковыми, а могут быть разными, нагрузка всегда будет равна половине площади, а ее пик над накосным стропилом всегда будет находиться на расстоянии 3/4 длины накосного стропила от угла дома. Наиболее благоприятная для строительства и работы стропила конфигурация грузовой нагрузки — это квадрат. Если пролеты вальмы и скатов равны, то будут равны и карнизные свесы крыши. Если пролеты вальмы и скатов неравны, то и карнизные свесы на торце здания и боковой стене получаются разными так как в этом случае угол наклона ската крыши не равен углу наклона ската вальмы. Не всегда получается сделать пролеты вальмы и скатов одинаковыми поэтому калькулятор позволяет рассчитывать и эти варианты, но постарайтесь не делать эту разницу слишком большой. Иначе будут проблемы с карнизной частью крыши. Старайтесь приближать площадь угла вальмой крыши к квадрату, это заметно упростит строительство.

Во всех предыдущих калькуляторах расчета крыш, расположенных на сайте расчет велся на симметричную равномерно распределенную нагрузку центр тяжести которой располагался ровно посредине грузовой площади. В данном случае центр тяжести нагрузки будет находиться всегда над продольной осью стропила на расстоянии 7/12 длины его пролета от угла здания или, соответственно 5/12 от его конька. На это тоже нужно обратить внимание. Расположение центра тяжести не совпадет с расположением пика нагрузки.

Центр тяжести нагрузки дествующей на накосное стропило по площади вальмы Центр тяжести линейной нагрузки дествующей на накосное стропило

Для чего знать где находится центр тяжести нагрузки? Если стропило нуждается в подпорке, то подпереть его стойкой или укосом лучше всего под центром тяжести нагрузки. Так основная часть нагрузки уйдет в подкос или стойку и разгрузит стропило. Правильное распределение нагрузки обеспечивает оптимальные размеры сечений конструкции, а значит наибольшую экономию строительных материалов. Однако установка подпорки строго под центром тяжести нагрузки не всегда конструктивно возможна, поэтому калькулятор позволяет устанавливать ее в другом месте. Старайтесь избегать установку средней опоры (стойки, подкоса или прогона) далее, чем 2/3 пролета накосного стропила. При расположении далее 2/3 пролета на коньке или мауэрлате возникает отрицательная опорная реакция — конец стропила отрывается от опоры. Удержать его можно гвоздем или другим способом, но зачем если мы заранее знаем, что можно добиться нулевой опорной реакции устанавливая среднюю опору примерно на расстоянии 2/3 пролета, но не далее.

Схема 1. Накосное стропило без промежуточных опор.
Опорные реакции накосного стропила без промежуточных опор

Определим опорные реакции.

$$ \sum M_A = P · \frac{7L}{12} - R_D · L = \frac{qL}{2} · \frac{7L}{12} - R_D · L = \frac{7qL^2}{24} - R_DL = 0 $$ $$ \boldsymbol{R_D = \frac{7}{24}qL} $$
$$ \sum M_D = P · \frac{5L}{12} - R_A · L = \frac{qL}{2} · \frac{5L}{12} - R_A · L = \frac{5qL^2}{24} - R_AL = 0 $$ $$ \boldsymbol{R_A = \frac{5}{24}qL} $$

Построим эпюру поперечных сил Q и определим x — место, где она пересекает продольную ось стропила. Здесь момент изгиба стропила достигает своего максимального значения.

Эпюра поперечных сил накосного стропила без промежуточных опор
$$ \small{Q_x = R_A - P_x = 0} $$

где Px - равнодействующая в треугольнике нагрузки с основанием x, равна площади этого треугольника Sтр

Нагрузка в месте максимального момента стропила без промежуточных опор

Составим пропорции и вычислим значения qx и равнодествующую Px треугольника с основанием x.

Нагрузка q так относиться к нагрузке qx, как расстояние 3L/4 к расстоянию x.

$$ \frac{q}{q_x} = \frac{\frac{3}{4}L}{x} \hspace{2mm} \text{, следовательно} \hspace{2mm} q_x = \frac{4q·x}{3L} $$

Тогда

$$ P_x = S_{тр} = \frac{1}{2}q_x·x = \frac{1}{2}·\frac{4q·x}{3L}·x = \frac{2qx^2}{3L} $$

Максимальный момент изгиба находится в точке где Qx = 0.

$$ Q_x = R_A - P_x = \frac{5qL}{24} - \frac{2qx^2}{3L} = 0 $$

Решим это квадратное уравнение и найдем x.

$$ x = L \sqrt{\frac{15}{48}} \textcolor{Gray} {= 0,559L} $$

Отсекая правую часть балки мы видим, что функция описывающая изменение момента на участке от 0 до 3L/4 выглядит, как

$$ M_x = R_A·x - P_x·\frac{1}{3}·x = \frac{5qLx}{24} - \frac{2qx^3}{9L} $$
Максимальный момент накосного стропила без промежуточных опор

Находим максимальный момент изгиба подставляя в формулу моментов значение x = L√15/48.

$$ \boldsymbol{M_{max}} \textcolor{Gray}{= \frac{5qLx}{24} - \frac{2qx^3}{9L} = \frac{5}{36}·qL^2\sqrt{\frac{15}{48}}} \boldsymbol {= \frac{5\sqrt{5}}{144}·qL^2} $$
Эпюра изгибающих моментов накосного стропила без промежуточных опор

Первое интегрирование функции описывающей изменение момента дает формулу изменения углов поворота продольной оси балки:

$$ θ_x = \frac {1}{EJ}· \int M_x = \textcolor{Gray} { \frac {1}{EJ}· \int {\left(\frac {5qLx}{24} - \frac {2qx^3}{9L}\right)dx}} = \frac{1}{EJ}·\left[\frac{5qLx^2}{48} - \frac{qx^4}{18L} + C_1\right] $$

Очевидно, что в месте наибольшего момента угол поворота продольной оси θ будет равен 0.

$$ θ_{M_{max}} = \frac{1}{EJ}·\left[\frac{5qLx^2}{48} - \frac{qx^4}{18L} + C_1\right] = 0 $$

из этого равенства найдем постоянную C1

$$ C_1 = -\frac{5qLx^2}{48} + \frac{qx^4}{18L} $$

Она же показывает максимальный поворот упругой оси балки на опоре A, который возникнет под приложенной рабочей нагрузкой. Мы интегрируем эпюру моментов и точно знаем, что максимальное значение момента находится на расстоянии x = L√15/48 т. е до этого значения функция описывающая изменение момент изгиба растет, а потом убывает. В точке x угол поворота оси балки равен θ = 0

Подставим значение x в формулу определения константы и вычислим ее.

$$ C_1 = θ_A = -\frac{5qL·\left(L\sqrt{\frac{15}{48}}\right)^{2}}{48} + \frac{q·\left(L\sqrt{\frac{15}{48}}\right)^{4}}{18L} = -\frac{125}{4608}·qL^3 $$

Знак минус говорит о том, что под нагрузкой q сечение балки на опоре A повернулось по часовой стрелке, т.е балка прогнулась вниз. Второе интегрирование формулы моментов (или первое интегрирование формулы углов поворота) дает формулу прогибов балки:

$$ f_x = \frac {1}{EJ}· \iint M_x = \frac {1}{EJ}·\int\left(\frac{5qLx^2}{48} - \frac{qx^4}{18L} + C_1\right)dx = \frac {1}{EJ}·\left[\frac{5qLx^3}{144} - \frac{qx^5}{90L} + C_1x + C_2\right] $$

Известно, что на опорах балка не прогибается. То есть при x = 0 прогиб f будет равен 0. Подставляя x = 0 в формулу прогибов найдем вторую константу C2.

$$ f_{x= 0} = \frac {1}{EJ}·\left[\frac{5qL}{144}·0^3 - \frac{q}{90L}·0^5 + C_1·0 + C_2\right] = 0 \hspace{2mm} \text{, следовательно}\hspace{2mm} C_2 = 0 $$

Окончательная формула прогибов для любого значения x в интервале от 0 до 3L/4 будет выглядеть так:

$$ \boldsymbol {f_{x} = \frac {1}{EJ}·\left[\frac{5qL}{144}·x^3 - \frac{q}{90L}·x^5 - \frac{125qL^3}{4608}·x\right]} $$

Подставляя в формулу разные длины x от начала балки можно вычислить прогиб в любом месте балки в интервале от 0 до 3L/4 .

Максимальный прогиб будет в месте расположения ЦТ то есть в точке x = 7L/12

$$ \small f_{x = \frac{7L}{12}} = \frac {1}{EJ}·\left[\frac{5qL}{144}·\left(\frac{7L}{12}\right)^3 - \frac{q}{90L}·\left(\frac{7L}{12}\right)^5 - \frac{125qL^3}{4608}·\left(\frac{7L}{12}\right)\right] = -\frac{1}{EJ}·0,00968qL^4 $$
$$ \small f_{x = \frac{3L}{4}} = \frac {1}{EJ}·\left[\frac{5qL}{144}·\left(\frac{3L}{4}\right)^3 - \frac{q}{90L}·\left(\frac{3L}{4}\right)^5 - \frac{125qL^3}{4608}·\left(\frac{3L}{4}\right)\right] = -\frac{1}{EJ}·0,008qL^4 $$
$$ \small f_{x = \frac{L}{2}} = \frac {1}{EJ}·\left[\frac{5qL}{144}·\left(\frac{L}{2}\right)^3 - \frac{q}{90L}·\left(\frac{L}{2}\right)^5 - \frac{125qL^3}{4608}·\left(\frac{L}{2}\right)\right] = -\frac{1}{EJ}·0,00957qL^4 $$
Схема 2. Накосное стропило с промежуточной опорой — стойкой, подкосом или прогоном.
Расчетная схема накосного стропила с одной промежуточной опорой

В данном случае мы имеем двухпролетную неразрезную балку с длиной первого пролета не более 3/4 длины всей балки. Для определения опорных реакций сначала находится сила изгибающего момента возникающего над средней опорой. Применим уравнение трех моментов. Сначала мысленно разрежем балку по средней опоре и решим отдельно левую и правую часть, которые по отдельности представляют собой обычные однопролетные балки. Влияние на левую балку напряжений, возникающих в правой балке, заменим неизвестным моментом MС. Тоже самое сделаем для правой части балки.

Уравнение трех моментов:

$$ M_A·a + 2M_C·(a + c) + M_D·c = -6·(C_1 + C_2) $$

где MA — момент на левой опоре, MA = 0; MC — неизвестная величина (подлежит определению); MD — момент на правой опоре, MD = 0; C1 и C2 — фиктивные опорные реакции однопролетных балок, рассчитываются как ω1a1/a и ω2c1/c, где a и c — длины пролетов, т.е. расстояния между опорами; ω1 и ω2 — площади эпюр моментов левой и правой статически определимых однопролетных балок; a1 и c1 — расстояния до центра тяжести эпюр моментов от левой и правой опоры соответственно.

Обычно рассчитывать фиктивные реакции не нужно, они давно рассчитаны и записаны в таблицы различных справочников. Здесь, для вывода формул, используется "Справочник инженера-конструктора" составленный Мичуриным В.Ф. под редакцией Дыховичного Ю.А.

Левая часть двухпролетной неразрезной балки

Опора С смещена от пика равномерно убывающей нагрузки, поэтому определяем величину нагрузки в месте разреза. Она уменьшается пропорционально длине основания треугольника, описывающего нагрузку. Нагрузка q будет так относиться к q1, как расстояние 3L/4 к расстоянию a.

$$ \frac{q}{q_{1}} = \frac{\frac{3}{4}L}{a} \hspace{2mm} \text{, следовательно}\hspace{2mm} q_1 = \frac{4qa}{3L} $$

Используя формулы из "Справочника инженера-конструктора" определим Фиктивные опорные реакции на первой балке:

$$ A_1 = \textcolor{Gray}{\frac{7q_{1}a^3}{360} =} \frac{7qa^4}{270L} $$
$$ C_1 = \textcolor{Gray}{\frac{8q_{1}a^3}{360} =} \frac{8qa^4}{270L} $$

Нагрузка q2 действующая на вторую балку имеет сложное очертание, поэтому преобразуем ее в две простых треугольных нагрузки. Сверху нагрузку продлим на весь пролет, а снизу вычтем из нее компенсирующую нагрузку.

Правая часть двухпролетной неразрезной балки

Методами пропорций вычислим значения этих нагрузок.

$$ \frac{q'_2}{q} = \frac{c}{\frac{L}{4}} \hspace{2mm} \text{, следовательно} \hspace{2mm} q'_2 = \frac{4qc}{L} $$
$$ q''_2 = q'_2 - q_1 = \frac{4qc}{L} - \frac{4q(L - c )}{3L} $$

Фиктивные опорные реакции на второй балке от верхней нагрузки q'2:

$$ C'_2 = \textcolor{Gray}{\frac{8q'_{2}c^3}{360} =} \frac{8qc^4}{90L} $$
$$ D'_2 = \textcolor{Gray}{\frac{7q'_{2}c^3}{360} =} \frac{7qc^4}{90L} $$

Фиктивные опорные реакции на второй балке от нижней нагрузки q''2:

Математические преобразования не приводятся, если захочется повторить, то лучше всего это делать на сайте Mathway.com или wolframalpha.com.

$$ C''_2 = \textcolor{Gray}{\frac{q''_2c(c - \frac{L}{4})^2}{360}\times(20 - 15\frac{(c - \frac{L}{4})}{c} + 3\frac{(c - L/4)^2}{c^2})} = \frac{q(128c^2 + 36cL + 3L^2)(4c−L)^3}{69120cL} $$
$$ D''_2 = \textcolor{Gray}{\frac{q''_2c(c - \frac{L}{4})^2}{360}\times(10 - 3\frac{(c - L/4)^2}{c^2})} = \frac{q(112c^2 + 24cL + 3L^2)(4c−L)^3}{69120cL} $$

Тогда суммарные фиктивные опорные реакции на второй балке от сложной нагрузки q2 равны:

$$ C_2 = C'_2 - C''_2 = \frac{q(-2048c^5 + 3840Lc^4 - 160c^2L^3 + 3L^5)}{69120cL} $$
$$ D_2 = D'_2 - D''_2 = \frac{q(-1792c^5 + 3840Lc^4 - 320c^2L^3 + 60cL^4 - 3L^5)}{69120cL} $$

Подставим все полученные значения в уравнение трех моментов.

$$ M_A·a + 2M_C·L + M_D·c = -6·(\frac{8qa^4}{270L} + \frac{q(-2048c^5 + 3840Lc^4 - 160c^2L^3 + 3L^5)}{69120cL}) = -\frac{q(2048a^4c - 2048c^5 + 3840c^4L - 160c^2L^3 + 3L^5)}{11520cL} $$

Изгибающие моменты на крайних опорах: MAи MD равны нулю. Решим уравнение относительно MC — определим момент на средней опоре:

$$ \boldsymbol {M_C = -\frac{q(2048a^4c - 2048c^5 + 3840c^4L - 160c^2L^3 + 3L^5)}{23040cL^2}} $$

Реакции опор на первой балке.

$$ \boldsymbol{R_А} = \frac{1}{2}·\frac{4qa}{3L}·\frac{a}{3} + \frac{M_C}{a} \boldsymbol { = \frac{2qa^2}{9L} + \frac{M_C}{a}} $$
$$ R_{C_1} = \frac{1}{2}·\frac{4qa}{3L}·\frac{2a}{3} - \frac{M_C}{a} = \frac{4qa^2}{9L} - \frac{M_C}{a} $$

Реакции опор на второй балке.

$$ R_{D} = \frac{1}{2}·\frac{4qc}{L}·\frac{c}{3} - \frac{\frac{1}{2}·\frac{4q(4c - L)}{3L}·(c - \frac{L}{4})·\frac{1}{3}·(c - \frac{L}{4})}{c} - \frac{q[1600a^4 + c(4800c^3 - 181(4c - L)^3)]}{18000cL^2} = $$ $$ \boldsymbol {R_{D} = \frac{q(48c^3 - (4c - L)^3)}{72cL} + \frac{M_C}{c}} $$
$$ R_{C_2} = \frac{1}{2}·\frac{4qc}{L}·\frac{2c}{3} - \frac{\frac{1}{2}·\frac{4q(4c - L)}{3L}·(c - \frac{L}{4})·(\frac{L}{4} + \frac{2}{3}·(c - \frac{L}{4}))}{c} + \frac{q[1600a^4 + c(4800c^3 - 181(4c - L)^3)]}{18000cL^2} = $$ $$ R_{C_2} = \frac{q(32c^3 - 48c^2L + L^3)}{72cL} - \frac{M_C}{c} $$
$$ \boldsymbol {R_{C}} = R_{C_1} + R_{C_2} \boldsymbol {= \frac{q(32a^2c - 32c^3 + 48Lc^2 - L^3)}{72cL} - \frac{M_CL}{ac}} $$

Проверка

$$ \small\frac{qL}{2} = R_A + R_C + R_D = \left(\frac{2qa^2}{9L} + \frac{M_C}{a}\right) + \left(\frac{q(32a^2c - 32c^3 + 48Lc^2 - L^3)}{72cL} - \frac{M_CL}{ac}\right) + \left(\frac{q(48c^3 - (4c - L)^3)}{72cL} + \frac{M_C}{c}\right) = \frac{qL}{2} $$
Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов двухпролетной неразрезной балки

Для определения максимального момента изгиба и величины прогиба в первом пролете исследуем его.

$$ Q_{x_1} = R_A - P_{x_1} $$

где Px1 - равнодействующая от qx1 в треугольнике нагрузки с основанием x1, равна площади этого треугольника Sтр1:

Максимальный момент изгиба в первом пролете неразрезной бвухпролетной балки

Mетодом пропорций определим qx1, а затем равнодействующую Px1

$$ \frac{\frac{4qa}{3L}}{q_{x_1}} = \frac{a}{x_1} \hspace{2mm} \text{, следовательно}\hspace{2mm} q_{x_1} = \frac{4q{x_1}}{3L} $$
$$ P_{x_1} = S_{тр1} = \frac{1}{2}·q_{x_1}·x_1 = \frac{1}{2}·\frac{4q{x_1}^2}{3L} = \frac{2q{x_1}^2}{3L} $$

Максимальный момент изгиба в первом пролете находится в точке, где Qx1 = 0. Найдем x1

$$ Q_{x_1} = R_A - P_{x_1} = R_A - \frac{2q{x_1}^2}{3L} = 0 $$
$$ x_1 = \sqrt{\frac{3R_АL}{2q}} $$

Функция, описывающая изменение момента на участке от 0 до 7L/12 выглядит, как

$$ M_{x_1} = R_А· x_1 - P_{x_1}·\frac{1}{3}·x_1 = R_{А}x_{1} - \frac{2q{x_1}^3}{9L} $$

Подставив в формулу значение x1 найдем максимальный изгибающий момент в первом пролете.

$$ \boldsymbol {M_1 = \frac{2}{3}·R_А\sqrt{\frac{3R_АL}{2q}}} $$

Формулу прогиба можно получить двойным интегрированием формулы изгибающих моментов, но возникают некоторые сложности в определении констант. Поэтому поступим по-другому, обратимся к Справочнику инженера конструктора и воспользуемся готовыми формулами.

В первом пролете равномерно убывающая нагрузка qx1 прогибает стропило вниз, а момент на опоре Mc, созданный действием нагрузки на втором пролете, разгибает его. Таким образом формула прогибов первого пролета будет состоять из двух частей. Первая часть характеризует прогиб от нагрузки, вторая от момента на опоре C. В формуле Mc записан со знаком плюс, так как по факту Mc это отрицательное число. В строительстве эпюру моментов изображают на растянутых волокнах. Со знаками плюс–минус может возникнуть путаница. Но если представить, что равномерно убывающая нагрузка прогибает стропило, а момент на опоре, наоборот, разгибает его, то становится понятно, что у этих прогибов–разгибов, должны быть разные знаки. Этим и руководствуемся. Для определения прогиба в любой точке первого пролета, находим прогиб от равномерно убывающей нагрузки и вычитаем из него разгиб от изгибающего момента на опоре.

$$ \boldsymbol{f_{х_1} =} \textcolor{Gray}{\frac{1}{EJ}\left[\frac{q_1a^4(\frac{7x_1}{a} - \frac{10x_1^3}{a^3} + \frac{3x_1^5}{a^5})}{360} + \frac{M_c(a^2- x_1^2)x_1}{6a}\right]} = \boldsymbol{\frac{1}{EJ}\left[\frac{4qa^5(\frac{7x_1}{a} - \frac{10x_1^3}{a^3} + \frac{3x_1^5}{a^5})}{1080L} + \frac{M_c(a^2- x_1^2)x_1}{6a}\right]} $$

Дифференцирование формулы прогиба дает формулу углов поворота продольной оси балки. Приравняем к нулю производную формулы прогиба и найдем точки экстремума, то есть точки, где угол поворота равен нулю, здесь прогиб достигает своего максимального значения:

$$ (f_{х_1})' = \frac{qx_1^4}{18L} - \frac{(2a^3q + 9LM_c)x_1^2}{18aL} + \frac{a(7qa^3 + 45LM_c)}{270L} = 0 $$

Решение этого уравнения даст четыре корня из которых нас интересуют только те, которые лежат на отрезке от опоры A до опоры C. Это расстояния до точек перегиба продольной оси балки.

$$ x_{1_{f1}} = \frac{\sqrt{30a^2 - \frac{\sqrt{15}\sqrt{32a^6q^2 + 360a^3LM_cq + 1215L^2{M_c}^2}}{aq} + \frac{135LM_c}{aq}}}{\sqrt{30}} $$
$$ x_{2_{f1}} = \frac{\sqrt{30a^2 + \frac{\sqrt{15}\sqrt{32a^6q^2 + 360a^3LM_cq + 1215L^2{M_c}^2}}{aq} + \frac{135LM_c}{aq}}}{\sqrt{30}} $$

Прогиб балки в любом другом месте первого пролета, можно получить подстановкой значения xf в формулу прогиба.

Исследуем второй пролет, составим пропорции для вычисления верхней нагрузки qx2:

$$ \frac{\frac{4qc}{L}}{q_{x_2}} = \frac{c}{x_2} \hspace{2mm} \text{, следовательно}\hspace{2mm} q_{x_2} = \frac{4qx_2}{L} $$
$$ P_{x_2} = S_{тр2} = \frac{1}{2}·q_{x_2}·x_2 = \frac{1}{2}\frac{4q{x_2}^2}{L} = \frac{2q{x_2}^2}{L} $$
Максимальный момент изгиба во втором пролете неразрезной бвухпролетной балки

Пропорции для вычисления нижней нагрузки q'x2:

$$ \frac{\frac{4q(L - 4c)}{3L}}{q'_{x_2}} = \frac{c - \frac{L}{4}}{x_2 - \frac{L}{4}} \hspace{2mm} \text{, следовательно}\hspace{2mm} q'_{x_2} = \frac{16q(x_2 - \frac{L}{4})}{3L} = \frac{4q(4x_2 - L)}{3L} $$

Равнодействующая

$$ P'_{x_2} = S'_{тр2} = \frac{1}{2}·q'_{x_2}·(x_2 - \frac{L}{4}) = \frac{q(4x_2 - L)^2}{6L} $$

Максимальный момент изгиба во втором пролете находится в точке, где Qx2 = 0. Найдем x2

$$ Q_{x_2} = R_D - P_{x_2} + P'_{x_2} = R_D - \frac{2q{x_2}^2}{L} + \frac{q(4x_2 - L)^2}{6L} = 0 $$

Расстояние x2 определено от конца балки (справа налево)

$$ x_2 = L - \frac{\sqrt{3qL(qL - 2R_D)}}{2q} $$

Функция, описывающая изменение момента на участке от L до 7L/12 выглядит, как

$$ M_{x_2} = R_D·x_2 - P_{x_2}·\frac{1}{3}·x_2 + P'_{x_2}·\frac{1}{3}·(x_2 - \frac{L}{4}) = R_Dx_2 - \frac{2q{x_2}^3}{3L} + \frac{q(4x_2 - L)^3}{72L} $$

Максимальный момент изгиба в правом пролете балки будет вычисляться по этой формуле подстановкой в нее вычисленного значения x2.

Для вывода формулы прогиба опять обратимся к Справочнику инженера конструктора за готовыми формулами.

Количество формул в справочнике ограничено, поэтому равномерно убывающую в разные стороны нагрузку заменим приведенной треугольной нагрузкой q'2 с вычетом из нее кусочка другой компенсирующей треугольной нагрузки q''2. Таким образом балку на втором пролете будет гнуть вниз приведенная нагрузка и разгибать в противоположную сторону, момент на опоре C и компенсирующая нагрузка. Общая формула прогиба будет составлена из трех компонентов.

$$ \boldsymbol{f_{х_2} = \frac{1}{EJ}\left[\frac{q'_2c^4(\frac{7x_2}{c} - \frac{10{x_2}^3}{c^3} + \frac{3{x_2}^5}{c^5})}{360} - \frac{q''_2c^2j^2(\frac{(10 - \frac{3j^2}{c^2})x_2}{c} - \frac{10{x_2}^3}{c^3})}{360} + \frac{M_c(c^2- {x_2}^2)x_2}{6c}\right]} $$

Буква j в формуле обозначает область действия компенсирующей нагрузки q''2

$$ j=c-\frac{L}{4} $$

Дифференцирование формулы прогиба дает формулу углов поворота продольной оси балки. Приравняем к нулю производную от формулы прогиба и найдем точки экстремума:

$$ (f_{х_2})' = \frac{q'{x_2}^4}{24c} + \frac{(-30c^2q' - 180M_c + 30j^2q''){x_2}^2}{360c} + \frac{7c^3q'}{360} + \frac{cM_c}{6} + \frac{(3j^4 - 10c^2j^2)q''}{360c} $$
$$ x_{1_{f2}} = \sqrt{c^2 - \frac{\sqrt{(-30c^2q' + 30j^2q'' - 180M_c)^2 - 60q'(7c^4q' - 10c^2j^2q'' + 60c^2M_c + 3j^4q'')}}{30q'} - \frac{j^2q''}{q'} + \frac{6M_c}{q'}} $$
$$ x_{2_{f2}} = \sqrt{c^2 + \frac{\sqrt{(-30c^2q' + 30j^2q'' - 180M_c)^2 - 60q'(7c^4q' - 10c^2j^2q'' + 60c^2M_c + 3j^4q'')}}{30q'} - \frac{j^2q''}{q'} + \frac{6M_c}{q'}} $$

Подставляя в формулу разные длины xf (справа налево) от конца балки можно вычислить прогиб в любом месте балки в интервале от L до c.

Все манипуляции с формулами: дифференцирование, интегрирование, решение уравнений, сокращения и прочие действия, производились на сайтах wolframalpha.com, math24.biz, mathforyou.net, allcalc.ru. Они облегчили работу. Очень легко ошибиться при вводе таких сложных формул. Поэтому формулы вводились в одном сервисе, затем проверялись в других, до тех пор, пока все они не показывали одинаковый результат.

Схема 3. Накосное стропило с двумя промежуточными опорами — стойками, подкосами или прогонами.
Балка на четырех опорах нагруженная равномерно убывающей нагрузкой

Разрежем балку на три однопролетных и составим для них уравнения трех моментов:

Уравнение трех моментов для трехпролетной балки нагруженной равномерно убывающей нагрузкой
$$ \begin{cases} M_A·a + 2M_B·(a + b) + M_C·b = -6·(B_1 + B_2) \\ M_B·b + 2M_C·(b + c) + M_D·c = -6·(C_2 + C_3)\end{cases} $$
$$ M_A = M_D = 0 $$
$$ \begin{cases} 2M_B·(a + b) + M_C·b = -6·(B_1 + B_2) \\ M_B·b + 2M_C·(b + c) = -6·(C_2 + C_3)\end{cases} $$

Преобразуем геометрию нагрузок в более простые формы и определим значения q1 и q2, в местах разреза балки причем помним, что на второй балке q2 составлена из двух нагрузок: q1 и q'2, а на третьей из нагрузок: q'3 и q''3

Из пропорции

$$ \frac{q}{q_1} = \frac{\frac{3L}{4}}{a} \hspace{2mm} \text{, следует}\hspace{2mm} q_1 = \frac{4qa}{3L} $$

Из пропорции

$$ \frac{q}{q_2} = \frac{\frac{3L}{4}}{a + b} \hspace{2mm} \text{, следует} \hspace{2mm} q_2 = \frac{4q(a + b)}{3L} \hspace{2mm} \text{, тогда}\hspace{2mm} q'_2 = q_2 - q_1 = \frac{4qb}{3L} $$

Из пропорции

$$ \frac{q'_3}{q} = \frac{c}{\frac{L}{4}} \hspace{2mm} \text{, следует} \hspace{2mm} q'_3 = \frac{4qc}{L} \hspace{2mm} \text{, тогда}\hspace{2mm} q''_3 = q'_3 - q_2 = \frac{4q(3c - a - b)}{3L} = \frac{4q(4c - L)}{3L} $$

Фиктивные опорные реакции на первой балке:

$$ A_1 = \frac{7q_1 a^3}{360} = \frac{7qa^4}{270L} $$ $$ B_1 = \frac{8q_1 a^3}{360} = \frac{8qa^4}{270L} $$

Фиктивные опорные реакции на второй балке:

$$ B'_2 = \frac{7q_2 b^3}{360} = \frac{7qb^4}{270L} $$ $$ C'_2 = \frac{8q_2 b^3}{360} = \frac{8qb^4}{270L} $$ $$ B''_2 = \frac{q_1 b^3}{24} = \frac{qab^3}{18L} $$ $$ C''_2 = \frac{q_1 b^3}{24} = \frac{qab^3}{18L} $$
$$ B_2 = B'_2 + B''_2 = \frac{qb^3(7b + 15a)}{270L} $$ $$ C_2 = C'_2 + C''_2 = \frac{qb^3(8b + 15a)}{270L} $$

Фиктивные опорные реакции на третьей балке:

$$ C'_3 = \frac{8q''2c^3}{360} = \frac{8qc^4}{90L} $$ $$ D'_3 = \frac{7q''2c^3}{360} = \frac{7qc^4}{90L} $$ $$ C''_3 = \textcolor{Gray}{\frac{q''_3c(c - \frac{L}{4})^2}{360}\times(20 - 15\frac{(c - \frac{L}{4})}{c} + 3\frac{(c - L/4)^2}{c^2})} = \frac{q(128c^2 + 36cL + 3L^2)(4c−L)^3}{69120cL} $$ $$ D''_3 = \textcolor{Gray}{\frac{q''_3c(c - \frac{L}{4})^2}{360}\times(10 - 3\frac{(c - L/4)^2}{c^2})} = \frac{q(112c^2 + 24cL - 3L^2)(4c−L)^3}{69120cL} $$

Суммарные фиктивные опорные реакции на третьей балке равны:

$$ C_3 = C'_3 - C''_3 = \frac{q(-2048c^5 + 3840Lc^4 - 160c^2L^3 + 3L^5)}{69120cL} $$
$$ D_3 = D'_3 - D''_3 = \frac{q(-1792c^5 + 3840Lc^4 - 320c^2L^3 + 60cL^4 - 3L^5)}{69120cL} $$

Вставим все значения в уравнения трех моментов:

$$ \begin{cases} 2M_B·(a + b) + M_C·b = -\frac{6·(8qa^4/270L + qb^3(7b + 15a))}{270L} = \frac{-q(8a^4 + 7b^4 + 15ab^3)}{45L} \\ \\ M_B·b + 2M_C·(b + c) = -\frac{6·(qb^3(8b + 15a)}{270L} + \frac{q(-2048c^5 + 3840Lc^4 - 160c^2L^3 + 3L^5)}{69120cL} = \frac{-q(3840ab^3c + 2048b^4c - 2048c^5 + 3840c^4L - 160c^2L^3 + 3L^5)}{11520cL} \end{cases} $$
Изгибающие моменты на средних опорах

Нужно решить систему уравнений и найти значения моментов MB и MC, но в правой части уравнений получились длинные формулы, трудно поддающиеся упрощению, поэтому обозначим их буквами, например, m и n. Запишем систему уравнений в упрощенном виде.

$$ \begin{cases} 2M_B·(a + b) + M_C·b = m \\ 2M_C·(b + c) + M_B·b = n \end{cases} $$

где

$$ n = -\frac{q(8a^4 + 7b^4 + 15ab^3)}{45L} $$ $$ m = -\frac{q(3840ab^3c + 2048b^4c - 2048c^5 + 3840c^4L - 160c^2L^3 + 3L^5)}{11520cL} $$

Решим систему уравнений и найдем MB и MС

$$ \boldsymbol {M_B = \frac{2cn + 2bn - bm}{4ac + 4ab + 4bc + 3b^2}} $$ $$ \boldsymbol {M_C = \frac{2bm + 2am - bn}{4ac + 4ab + 4bc + 3b^2}} $$
Реакции опор

Первая балка:

$$ \boldsymbol {R_A = \frac{2qa^2}{9L} + \frac{M_B}{a}} $$ $$ R_{B_1} = \frac{4qa^2}{9L} - \frac{M_B}{a} $$

Вторая балка:

$$ R_{B_2} = \frac{2qab}{3L} + \frac{2qb^2}{9L} - \frac{M_B}{b} + \frac{M_C}{b} $$ $$ R_{C_2} = \frac{2qab}{3L} + \frac{4qb^2}{9L} + \frac{M_B}{b} - \frac{M_C}{b} $$

Третья балка:

$$ R_{C_3} = \frac{q(48c^2L - L^3 - 32c^3)}{72cL} - \frac{M_C}{c} $$ $$ \boldsymbol {R_D = \frac{q(L^3 - 12cL^2 + 48c^2L - 16c^3)}{72cL} + \frac{M_C}{c}} $$

Суммарные опорные реакции в средних опорах

$$ \boldsymbol{R_{B} =} R_{B_1} + R_{B_2} =\boldsymbol{\frac{2q(2a + b)(a + b)}{9L} + \frac{M_С}{b} - \frac{M_B(a+b)}{ab}} $$ $$ \boldsymbol{R_{C} =} R_{C_2} + R_{C_3} = \boldsymbol {\frac{q(48abc + 32b^2c + 48c^2L - L^3 - 32c^3)}{72cL} + \frac{M_B}{b} - \frac{M_C(b + c)}{bc}} $$

Опорные изгибающие моменты и реакции в точках A, B, C и D заданной трехпролетной балки определены, теперь нужно найти изгибающие моменты и прогибы в пролетах балки. Будем последовательно находить изгибающиее моменты в каждом из пролетов, как в отдельной балке, заменяя действие отрезанных пролетов изгибающими моментами. Например, расчитывая изгибающий момент в первом пролете отрежем второй и третий пролет и заменим их изгибающим моментом MB, расчитывая момент во втором пролете отрежем первый и третий пролет и заменим их эквивалентными моментами MB и MC

Исследование первого пролета
Первый пролет трехпролетной неразрезной балки
$$ Q_{x_1} = R_A - P_{x_1} $$

Где $ P_{x_1} $ - равнодействующая в треугольнике нагрузки с основанием x1, равна площади этого треугольника Sтр1.

Из пропорции:

$$ \frac{\frac{4qa}{3L}}{q_{x_1}} = \frac{a}{x_1} \hspace{3mm} ==> \hspace{3mm} q_{x_1} = \frac{4qx_1}{3L} $$ $$ P_{x_1} = S_{тр1} = \frac{1}{2}·q_{x_1}·x_1 = \frac{2qx_1^2}{3L} $$

Максимальный момент изгиба в первом пролете находится в точке, где Qx1 = 0. Найдем x1

$$ Q_{x_1} = R_A - P_{x_1} = R_A - \frac{2qx_1^2}{3L} = 0 \hspace{3mm} ==> \hspace{3mm} x_1 = \sqrt{\frac{3R_AL}{2q}} $$

Функция, описывающая изменение момента в первом пролете, выглядит так:

$$ M_{x_1} = R_A· x_1 - P_{x_1}·(1/3)·x_1 = R_A·x_1 - \frac{2qx_1^3}{9L} $$

Тогда, подставив в формулу значение x1 получим максимальный изгибающий момент в первом пролете

$$ \boldsymbol{M_{x_1} =} R_A· x_1 - P_{x_1}·(1/3)·x_1 = \boldsymbol{\frac{2}{3}R_A\sqrt{\frac{3R_AL}{2q}}} $$

Формулу прогиба выведем из готовых формул Справочника Проектировщика.

$$ \boldsymbol{f_{х_1} = \frac{1}{EJ}\left[\frac{4qa^5(\frac{7x_1}{a} - \frac{10x_1^3}{a^3} + \frac{3x_1^5}{a^5})}{1080L} + \frac{M_b(a^2- x_1^2)x_1}{6a}\right]} $$

Приравняем к нулю производную формулы прогиба и найдем точки экстремума:

$$ (f_{х_1})' = \frac{qx_1^4}{18L} - \frac{(2a^3q + 9LM_b)x_1^2}{18aL} + \frac{a(7qa^3 + 45LM_b)}{270L} = 0 $$

Корни уравнения покажут на каком расстоянии находятся точки максимальных прогибов.

$$ x_{1_{f1}} = \frac{\sqrt{30a^2 - \frac{\sqrt{15}\sqrt{32a^6q^2 + 360a^3L{M_b}q + 1215L^2{M_b}^2}}{aq} + \frac{135LM_b}{aq}}}{\sqrt{30}} $$
$$ x_{2_{f1}} = \frac{\sqrt{30a^2 + \frac{\sqrt{15}\sqrt{32a^6q^2 + 360a^3LM_bq + 1215L^2{M_b}^2}}{aq} + \frac{135LM_b}{aq}}}{\sqrt{30}} $$

Прогиб балки в любом другом месте первого пролета, можно получить подстановкой значения xf в формулу прогиба.

Исследование второго пролета
Второй пролет трехпролетной неразрезной балки

Нагрузку представленную в виде трапеции разложим на треугольную и прямоугольную. Равнодействующие Px2пр и Px2тр нагрузки с основанием x2, равны площадям этих прямоугольника и треугольника:

$$ P_{x_2пр} = S_{пр} = \frac{4qa}{3L}·x_2 $$

Из пропорции:

$$ \frac{\frac{4qb}{3L}}{q_{x_2}} = \frac{b}{x_2} \hspace{3mm} ==> \hspace{3mm} q_{x_2} = \frac{4qx_2}{3L} $$ $$ P_{x_2тр} = S_{тр} = \frac{1}{2}·q_{x_2}·x_2 = \frac{2q{x_2}^2}{3L} $$

Максимальный момент изгиба во втором пролете находится в точке где Qx2 = 0. Найдем x2 из равенства:

$$ Q_{x_2} = \textcolor{Gray}{R_B - P_{x_2пр} - P_{x_2тр}} = R_B - \frac{4qax_2}{3L} - \frac{2q{x_2}^2}{3L} = 0 $$
$$ x_2 = -\frac{2qa + \sqrt{2q(2qa^2 + 3R_BL)}}{2q} $$

Функция, описывающая изменение момента во втором пролете, выглядит как

$$ M_{x_2} = \textcolor{Gray}{R_B·x_2 - P_{x_2пр}·\frac{1}{2}·x_2 - P_{x_2тр}·\frac{1}{3}·x_2 + M_B} = R_Bx_2 - \frac{2qa{x_2}^2}{3L} - \frac{2q{x_2}^3}{9L} + M_B $$

Максимальный момент изгиба во втором пролете M2 получится путем подставления в формулу значения x2

Формулу прогиба из готовых формул Справочника Проектировщика.

$$ f_{х_2} = \frac{1}{EJ}\left[\frac{q'b^4(\frac{7x_2}{b} - \frac{10{x_2}^3}{b^3} + \frac{3{x_2}^5}{b^5})}{360} + \frac{q_1(b^3- 2b{x_2}^2 + {x_2}^3)x_2}{24} + \frac{M_b(2b^2- 3bx_2 + {x_2}^2)x_2}{6b} + \frac{M_c(b^2 - {x_2}^2)x_2}{6b}\right] $$$$ \boldsymbol{f_{х_2} = \frac{1}{EJ}\left[\frac{qb^5(\frac{7x_2}{b} - \frac{10{x_2}^3}{b^3} + \frac{3{x_2}^5}{b^5})}{270L} + \frac{qa(b^3 - 2b{x_2}^2 + {x_2}^3)x}{18L} + \frac{M_b(2b^2- 3bx_2 + {x_2}^2)x_2}{6b} + \frac{M_c(b^2 - {x_2}^2)x_2}{6b}\right]} $$

Далее можно найти производную из этой формулы, приравнять ее к нулю и найти значения x2 при которых прогиб в этом пролете будет достигать максимального значения. Однако в процессе дифференцирования получается очень сложное уравнение четвертой степени при нахождении корней которого, получаются очень длинные и сложные формулы. Проще просто подставить в формулу прогиба различные значения x2, например, с интервалом b/8. Вычислить прогиб и определить место, где он будет максимальным, а потом подобрать для этого места такое сечение стропила, при котором прогиб не превысит нормативного значения. Иными словами, место нахождения максимально прогиба x2 здесь определим методом подбора.

Исследование третьего пролета
Третий пролет трехпролетной неразрезной балки

Пропорции для вычисления верхней нагрузки qx3

$$ \frac{\frac{4qc}{L}}{q_{x_3}} = \frac{c}{x_3} \hspace{2mm} \text{, следовательно}\hspace{2mm} q_{x_3} = \frac{4qx_3}{L} $$
Равнодействующая $$ P_{x_3} = S_{тр3} = \frac{1}{2}·q_{x_3}·x_3 = \frac{1}{2}\frac{4q{x_3}^2}{L} = \frac{2q{x_3}^2}{L} $$

Пропорции для вычисления нижней нагрузки q'x3:

$$ \frac{\frac{4q(L - 4c)}{3L}}{q'_{x_3}} = \frac{c - \frac{L}{4}}{x_3 - \frac{L}{4}} \hspace{2mm} \text{, следовательно}\hspace{2mm} q'_{x_3} = \frac{16q(x_3 - \frac{L}{4})}{3L} = \frac{4q(4x_3 - L)}{3L} $$
Равнодействующая $$ P'_{x_3} = S'_{тр2} = \frac{1}{2}·q'_{x_3}·(x_3 - \frac{L}{4}) = \frac{q(4x_3 - L)^2}{6L} $$

Максимальный момент изгиба во втором пролете находится в точке, где Qx3 = 0. Найдем x3

$$ Q_{x_3} = R_D - P_{x_3} + P'_{x_3} = R_D - \frac{2q{x_3}^2}{L} + \frac{q(4x_3 - L)^2}{6L} = 0 $$
$$ x_3 = L - \frac{\sqrt{3qL(qL - 2R_D)}}{2q} $$ — расстояние x3 определено от конца балки

Функция, описывающая изменение момента на участке c будет выглядеть, как

$$ M_{x_3} = R_D·x_3 - P_{x_3}·\frac{1}{3}·x_3 + P'_{x_3}·\frac{1}{3}·(x_3 - \frac{L}{4}) = R_Dx_3 - \frac{2q{x_3}^3}{3L} + \frac{q(4x_3 - L)^3}{72L} $$

Для вывода формулы прогиба смотрим Справочник инженера конструктора с готовыми формулами.

Выводим формулу прогиба аналогично тому как мы это делали в предыдущей расчетной схеме, для правого пролета балки на трех опорах.

$$ \boldsymbol{f_{х_3} = \frac{1}{EJ}\left[\frac{q'_2c^4(\frac{7x_3}{c} - \frac{10{x_3}^3}{c^3} + \frac{3{x_3}^5}{c^5})}{360} - \frac{q''_2c^2j^2(\frac{(10 - \frac{3j^2}{c^2})x_3}{c} - \frac{10{x_3}^3}{c^3})}{360} + \frac{M_c(c^2- {x_3}^2)x_3}{6c}\right]} $$

Буква j в формуле обозначает область действия компенсирующей нагрузки q''2

$$ j=c-\frac{L}{4} $$

Дифференцирование формулы прогиба дает формулу углов поворота продольной оси балки. Приравняем к нулю производную от формулы прогиба и найдем точки экстремума:

$$ (f_{х_3})' = \frac{q'{x_3}^4}{24c} + \frac{(-30c^2q' - 180M_c + 30j^2q''){x_3}^2}{360c} + \frac{7c^3q'}{360} + \frac{cM_c}{6} + \frac{(3j^4 - 10c^2j^2)q''}{360c} $$
$$ x_{1_{f3}} = \sqrt{c^2 - \frac{\sqrt{(-30c^2q' + 30j^2q'' - 180M_c)^2 - 60q'(7c^4q' - 10c^2j^2q'' + 60c^2M_c + 3j^4q'')}}{30q'} - \frac{j^2q''}{q'} + \frac{6M_c}{q'}} $$
$$ x_{2_{f3}} = \sqrt{c^2 + \frac{\sqrt{(-30c^2q' + 30j^2q'' - 180M_c)^2 - 60q'(7c^4q' - 10c^2j^2q'' + 60c^2M_c + 3j^4q'')}}{30q'} - \frac{j^2q''}{q'} + \frac{6M_c}{q'}} $$

Расчет ширины сечения

Дальнейший расчет ширины сечения накосного стропила производится аналогично расчетам обычных стропил. Только в этом случае подбирается толщина стропила, а не высота. Высота накосного стропила делается равной рядовым стропилам.

Более подробно расчет сечения стропила описан в калькуляторе ендов.