Расчет стропила ендовы

Расчет сечения стропила ендовы

Pп (пролет пристройки)P (пролет крыши)ЕндоваУглы наклона скатов крыши и пристройки равны Pп (пролет пристройки)P (пролет крыши)ЕндоваНаклон ската крыши круче ската пристройки Наклон ската пристройки круче ската крышиPп (пролет пристройки)P (пролет крыши)Ендова
11AADDLQHαL'1h1b11–1hAbAA–AhDbDD–D LQHαL1L2AADDh2b22–2h1b11–1hCbcC–ChAbAA–AhDbDD–D11L'1L'2BB h2b22–2h1b11–1hCbcC–ChAbAA–AhDbDD–D1122LQαL1L'1L'2L2CCAADHD QLHαβL / 3L / 3L / 3L'1L'2L'3h1b1h2b2h3b3hAbAhBbbhCbchDbDD–D2–21–1C–CA–A3–3B–B331122CCBBAADD
q =RA =RD =M1 =qRARDM1 qRARDRCMCM1M2M1 =M2 =RC =RD =MC =q =RA = MC =M2 =q =RA =RD =RC =qRARDRCMCM2 qMCM1RARDRCMC =q =RA =M1 =RD =RC = qRARDRBRCM1M2M3MBMCq =RA =RB =RD =RC =M1 =M2 =M3 =MC =MB = qRARDRCRBM1M2MCMBRA =RD =RB =RC =M2 =M1 =q =MC =MB = qRARDRCRBM2M3MCMBM2 =RA =RD =RB =RC =M3 =q =MC =MB = M2MCMBRARDRCRBqRA =RD =RB =RC =M2 =MC =MB =q = M1M3MCMBRARDRCRBqRA =RD =RB =RC =M1 =M3 =MC =MB =q =

Для изготовления стропила подходит пиловочник (доска или брус), выбранный из сортамента ГОСТ 24454, сечением (b×h):

×

Толщину стропила можно набрать спариванием двух досок.

Напряженное состояние Расчетные напряжения и прогиб Предельно допустимые напряжения и прогиб Прочность доски использована на
Сечение A–A
Скалывание, кг/см² σск   Rск    
Сечение 1–1
Изгиб, кг/см² σ   Rизг    
Прогиб, см f   fн    
Сечение B–B
Скалывание, кг/см² σск   Rск    
Изгиб, кг/см² σ   Rизг    
Сечение 2–2
Изгиб, кг/см² σ   Rизг    
Прогиб, см f   fн    
Сечение C–C
Скалывание, кг/см² σск   Rск    
Изгиб, кг/см² σ   Rизг    
Сечение 3–3
Изгиб, кг/см² σ   Rизг    
Прогиб, см f   fн    
Сечение D–D
Скалывание, кг/см² σск   Rск    
Примечание. Процент использования прочности вычисляется для доски подобранной по сортаменту. C одинаковым размером сечениий по всей длине доски, без учета вырезов для опорания на прогоны и мауэрлат.

Дальнейший расчет стропила делается в калькуляторах размеров. Высоту стропила нельзя делать меньше, чем получено по расчету и указано на рисунке с расчетной схемой. Выбрать из сортамента доску с большей высотой сечения, чем показал расчет можно, меньше — нельзя. При проектировании и изготовлении стропила следите за глубиной опорных вырезов. Они не должны резать доску глубже расчетных сечений. Делать высоту над вырезом больше, чем указано для сечений над опорами можно, меньше — нельзя. При этом размер вырезов в стропиле должен быть не меньше указанных на рисунке ниже.

Обычно размер опорных вырезов назначают конструктивно исходя из размеров сечения прогонов и мауэрлата так, чтобы глубина выреза получались больше, чем необходимый минимум из расчета на смятие и так, чтобы оставшаяся над вырезом высота была больше, чем необходимый минимум из расчета на скол. На практике очень часто глубину выреза делают равной 3/4 или 2/3 высоты стропила, что не является обязательным условием. Важно так подобрать размер выреза, чтобы стропило передало нагрузку на опору с наименьшим эксцентриситетом, не переломилось на опоре и не смяло ее. Иными словами, размер выреза должен быть больше, чем показано на картинке внизу, а размер сечения над вырезом должен быть больше, чем показан на рисунке вверху.

Минимальная глубина опорных вырезов

Расчет показал толщину сечения стропила превышающую толщину существующих досок и брусьев. Изготовление пиломатериала толщиной более 275 мм не предусмотрено ГОСТом.

Попробуйте изменить расчетную схему установкой дополнительных подпорок

baкhкaмhм baмhмaпhпaкhк baмhмaшhшaпhпaкhк
План пересечения крыш[i]
Конструкция стропила
Размеры по вертикали[i]
Нагрузка действующая на крышу[i]
Прочность и жесткость материала стропила[i]


Алгоритм расчета стропила ендовы

Обычно стропило, образующее желоб ендовы не рассчитывают, как и накосное стропило вальмы его делают спариванием двух досок рассчитанных для изготовления рядовых стропил. Данный калькулятор находит ширину стропила ендовы от высоты рядового стропила. В калькулятор вводится высота рядового стропила и он рассчитывает, какая минимальная ширина должна быть у стропила ендовы, которую можно получить спариванием двух досок либо из одной целиковой доски или бруса требуемой толщины.

Расчетные схемы

Любой расчет начинается с определения нагрузки, действующей на стропило. Она собирается с площади четырехугольника, образованного рядовыми стропилами пересекающихся скатов крыши и равна половине этой площади. Вторая половина площади нагрузки передается верхней частью нарожников на коньковую балку и дальше на внутренние опоры.

Нагрузка, действующая на стропило ендовы всегда равна половине площади грузового прямоугольника независящая от величин пролетов пересекающихся крыш. Пролеты этих крыш могут быть одинаковыми или разными, нагрузка всегда будет равна половине площади, а ее пик над стропилом ендовы всегда будет находиться на расстоянии 1/4 длины ендовогостропила от угла дома. Наиболее удобная в строительстве крыша получается, когда пересекающиеся скаты имеют равные по величине пролеты. В этом случае план пересечения крыш образует квадрат, а величина карнизных свесов получается одинакового размера. Если пролеты пересекающихся крыш неравны, а пересечение крыш вместо квадрата принимает форму прямоугольника, то карнизные свесы над стенами получаются разными так как в угол наклона скатов пресекающихся крыш будет разным. Особое внимание нужно обратить на то, что калькулятор рассчитывает сечение стропила ендовы для пересекающихся крыш одной высоты. То есть ендова получается длиной от конька до стены дома. Слепую ендову, верх которой не доходит до конька крыши, этот калькулятор рассчитывать не умеет из-за сложной геометрии действующей на нее нагрузки. В обычной ендове центр тяжести нагрузки всегда находится на продольной оси стропила, а в слепой ендове он смещается в сторону от оси, в результате чего, в стропиле ендовы образуется дополнительный крутящий момент. Расчет сечения несущего стропила слепой ендовы возможно будет реализован позже, в другом калькуляторе.

Стропило — это балка, которую рассчитывают на линейную нагрузку q. Измеряют эту нагрузку в килограммах, которые давят на метр длины балки (кг/м). Как найти величину этой нагрузки?

Сначала рассмотрим план ендовы. Здесь на каждый квадратный метр крыши давит нагрузка Q (кг/м²). Она определяется по СНиП «Нагрузки и воздействия» либо в калькуляторе этого сайта. Грузовая площадь пересечения крыш образующая ендову Sе определяется как произведенее сторон прямоугольника, образованного скатами пресекающихся крыш, Sе = P × Pп. Непосредственно на ендову действует только половина нагрузки Q другая половина распределяется на коньковые прогоны пересекающихся крыш. Соответственно равнодействующая (единичная сила, которой можно заменить всю нагрузку, действующую по площади) будет равна: P = Sе × Q/2 (м² × кг/м² = кг).

Нагрузка на ендове, действующая на диагональное стропило

Далее рассмотрим линейную расчетную нагрузку q действующую на продольную ось стропила ендовы (кг/м). Это равномерно убывающая нагрузка. Из курса Строительной Механики известно, что равнодействующая равномерной нагрузки равна площади фигуры описывающей нагрузку. В данном случае нагрузка изображается треугольником, следовательно его площадь и равнодействующая равна: Sтр = P = qL/2 (кг/м × м = кг). Получили два значения равнодействующей P выраженное из нагрузки Q действующей по площади и из линейной нагрузки q, действующей на продольную ось стропила. Поскольку это одна и таже нагрузка, то и величина равнодействующей одна и та же P = P. Запишем вместо равнодействующей формулы из которых они найдены и выведем значение q, которое требуется нам для расчета стропила ендовы.

$$ \frac{Q·S_е}{2} = \frac{qL}{2}, $$

следовательно,

$$ q = \frac{Q·S_e}{L} $$

Методами Строительной Механики определяется расположение центра тяжести (ЦТ) нагрузки действующей на стропило ендовы. Он будет находиться на продольной оси ендовы на расстоянии 5/12 длины пролета стропила от угла здания или соответственно на расстоянии 7/12 от его конька. Длинное стропило, нуждающееся в подпорке, лучше подпирать именно здесь — под центром тяжести нагрузки или где-то недалеко от него. Так обеспечивается минимально возможный размер сечения стропила ендовы, а значит достигается максимальная экономия строительных материалов. Калькулятор при вводе данных подскажет, где расположен ЦТ.

Схема 1. Стропило ендовы без промежуточных опор.
Расчетная схема стропила ендовы

Эта и последующие расчетные схемы — зеркальное отображение расчетных схем ендовогостропила вальмы. Поэтому просто запишем формулы определения опорных реакций, изгибающих моментов и прогибов балки, без вывода формул.

Реакции опор
$$ \boldsymbol{R_A = \frac{7}{24}qL} $$$$ \boldsymbol{R_D = \frac{5}{24}qL} $$
Изгибающий момент
$$ \boldsymbol{M_{max}= \frac{5\sqrt{5}}{144}·qL^2} $$
Прогиб
$$ \boldsymbol {f_{x} = \frac {1}{EJ}·\left[\frac{5qL}{144}·x^3 - \frac{q}{90L}·x^5 - \frac{125qL^3}{4608}·x\right]} $$

Расстояние x, для которого рассчитывается прогиб, в этом случае отсчитывается от конца балки. Подставляя в формулу разные длины x от опоры D можно вычислить прогиб стропила в любой точке интервала от L до L/4. Максимальный прогиб получится в месте расположения Центра Тяжести нагрузки.

Схема 2. Стропило ендовы с промежуточной опорой — стойкой или прогоном.
Расчетная схема стропила ендовы с одной промежуточной опорой

В данном случае мы имеем двухпролетную неразрезную балку, в которой сначала находится величина изгибающего момента на средней опоре, а затем от него определяются опорные реакции и моменты в пролетах.

$$ \boldsymbol {M_c = -\frac{q(2048c^4a - 2048a^5 + 3840a^4L - 160a^2L^3 + 3L^5)}{23040aL^2}} $$
Реакции опор
$$ \boldsymbol {{R_A} = \frac{q(48a^3 - (4a - L)^3)}{72aL} + \frac{M_c}{a}} $$ $$ \boldsymbol {{R_C} = \frac{q(32c^2a - 32a^3 + 48La^2 - L^3)}{72aL} - \frac{{M_c}L}{ca}} $$ $$ \boldsymbol {{R_D} = \frac{2qc^2}{9L} + \frac{M_c}{c}} $$
Изгибающий момент

Максимальный момент изгиба в первом пролете находится в точке x1 отмеряемой от начала балки

$$ x_1 = L - \frac{\sqrt{3qL(qL - 2{R_A})}}{2q} = L - d $$

где

$$ d = \frac{\sqrt{3qL(qL - 2{R_A})}}{2q} $$

Функция, описывающая изменение момента в первом пролете выглядит, как

$$ \boldsymbol {M_{x_1} = {R_A}x_1 - \frac{2q{x_1}^3}{3L} + \frac{q(4x_1 - L)^3}{72L}} $$

Подставляя x1 в формулу изгибающих моментов, получаем формулу максимального изгибающего момента в первом пролете.

$$ M_{1_{max}} = {R_A}(L - d) - \frac{2q(L - d)^3}{3L} + \frac{q(4(L - d) - L)^3}{72L} $$

Максимальный момент изгиба во втором пролете находится в точке x2 отмеряемой от конца балки

$$ x_2 = \sqrt{\frac{3{R_D}L}{2q}} $$

Функция, описывающая изменение момента во втором пролете

$$ \boldsymbol {M_{x_2} = {R_D}x_{2} - \frac{2q{x_2}^3}{9L}} $$

Максимальный изгибающий момент во втором пролете получается подстановкой x2 в формулу изгибающих моментов.

$$ M_{2_{max}} = \frac{2}{3}·{R_D}\sqrt{\frac{3{R_D}L}{2q}} $$
Прогиб

Прогиб в первом пролете

$$ \boldsymbol{f_{х_1} = \frac{1}{EJ}\left[\frac{q'a^4(\frac{7x_1}{a} - \frac{10{x_1}^3}{a^3} + \frac{3{x_1}^5}{a^5})}{360} - \frac{q''a^2j^2(\frac{(10 - \frac{3j^2}{a^2})x_1}{a} - \frac{10{x_1}^3}{a^3})}{360} + \frac{{M_c}(a^2- {x_1}^2)x_1}{6a}\right]} $$

Где j обозначает область действия компенсирующей нагрузки q''1

$$ j = a - \frac{L}{4} $$ $$ q' = \frac{4qa}{3L} $$ $$ q'' = \frac{4q(4a - L)}{3L} $$

Подставляя в формулу прогиба значения x1, получаем величину прогиба в заданной точке. Например, вычислив место, где будет находиться максимальный изгибающий момент можно вычислить для этого места величину прогиба балки. Место максимального прогиба и момента совпадают только для симметричных балок с симметричным нагружением. В других балках они находятся в разных местах. Места максимальных прогибов, от начала балки, находятся по формулам:

$$ x_{1_{f1}} = \sqrt{a^2 - \frac{\sqrt{(-30a^2q' + 30j^2q'' - 180{M_c})^2 - 60q'(7a^4q' - 10a^2j^2q'' + 60a^2{M_c} + 3j^4q'')}}{30q'} - \frac{j^2q''}{q'} + \frac{6M_c}{q'}} $$
$$ x_{2_{f1}} = \sqrt{a^2 + \frac{\sqrt{(-30a^2q' + 30j^2q'' - 180{M_c})^2 - 60q'(7a^4q' - 10a^2j^2q'' + 60a^2{M_c} + 3j^4q'')}}{30q'} - \frac{j^2q''}{q'} + \frac{6{M_c}}{q'}} $$

Прогиб во втором пролете

$$ \boldsymbol{f_{х_2} = \frac{1}{EJ}\left[\frac{qc^5(\frac{7x_2}{c} - \frac{10x_2^3}{c^3} + \frac{3x_2^5}{c^5})}{270L} + \frac{{M_c}(c^2- x_2^2)x_2}{6c}\right]} $$

Место наибольшего прогиба отсчитывается от конца балки

$$ x_{1_{f2}} = \frac{\sqrt{30c^2 - \frac{\sqrt{15}\sqrt{32c^6q^2 + 360c^3L{M_c}q + 1215L^2{M_c}^2}}{cq} + \frac{135L{M_c}}{cq}}}{\sqrt{30}} $$
$$ x_{2_{f2}} = \frac{\sqrt{30c^2 + \frac{\sqrt{15}\sqrt{32c^6q^2 + 360c^3L{M_c}q + 1215L^2{M_c}^2}}{cq} + \frac{135L{M_c}}{cq}}}{\sqrt{30}} $$
Схема 3. Стропило ендовы с двумя промежуточными опорами — стойками, подкосами или прогонами.
Расчетная схема стропила ендовы с двумя промежуточными опорами

Стропило, подпертое в двух местах, это трехпролетная неразрезная балка. Расчет начинается с определения величины изгибающих моментов на промежуточных опорах. Формулы выводятся аналогично выводу формул вальмового стропила. Формулы сложные, поэтому вводится ряд промежуточных замен отдельных формул буквенными символами.

$$ \boldsymbol {M_c = \frac{2an + 2bn - bm}{4ca + 4cb + 4ba + 3b^2}} $$ $$ \boldsymbol {M_b = \frac{2bm + 2cm - bn}{4ca + 4cb + 4ba + 3b^2}} $$

где

$$ n = -\frac{q(8c^4 + 7b^4 + 15cb^3)}{45L} $$ $$ m = -\frac{q(3840cab^3 + 2048ab^4 - 2048a^5 + 3840La^4 - 160a^2L^3 + 3L^5)}{11520aL} $$
Реакции опор
$$ \boldsymbol {{R_A} = \frac{q(L^3 - 12aL^2 + 48a^2L - 16a^3)}{72aL} + \frac{M_a}{a}} $$ $$ \boldsymbol {{R_B} = \frac{q(48abc + 32ab^2 + 48a^2L - L^3 - 32a^3)}{72aL} + \frac{M_c}{b} - \frac{{M_b}(a + b)}{ab}} $$ $$ \boldsymbol {{R_C} = \frac{2q(b + 2c)(b + c)}{9L} + \frac{M_a}{b} - \frac{{M_c}(b + c)}{bc}} $$ $$ \boldsymbol {{R_D} = \frac{2qc^2}{9L} + \frac{M_c}{c}} $$
Изгибающий момент

Максимальный момент изгиба в первом пролете находится в точке x1 отмеряемой от начала балки

$$ x_1 = L - \frac{\sqrt{3qL(qL - 2{R_A})}}{2q} = L - d $$

где

$$ d = \frac{\sqrt{3qL(qL - 2{R_A})}}{2q} $$

Функция, описывающая изменение момента в первом пролете выглядит, как

$$ \boldsymbol {M_{x_1} = {R_A}x_1 - \frac{2q{x_1}^3}{3L} + \frac{q(4x_1 - L)^3}{72L}} $$

Подставляя x1 в формулу изгибающих моментов, получаем формулу максимального изгибающего момента в первом пролете.

$$ M_{1_{max}} = {R_A}(L - d) - \frac{2q(L - d)^3}{3L} + \frac{q(4(L - d) - L)^3}{72L} $$

Максимальный момент изгиба во втором пролете находится в точке x2 отмеряемой влево от опоры C.

$$ x_2 = -\frac{2qc + \sqrt{2q(2qc^2+3R_CL)}}{2q} $$

Функция, описывающая изменение момента во втором пролете:

$$ \boldsymbol {M_{x_2} = {R_С}x_2 - \frac{2q{x_2}^3}{9L} - \frac{2qс{x_2}^3}{3L} + M_c} $$

Максимальный момент изгиба в третьем пролете находится в точке x3 отмеряемой от конца балки

$$ x_3 = \sqrt{\frac{3{R_D}L}{2q}} $$

Функция, описывающая изменение момента в третьем пролете:

$$ \boldsymbol {M_{x_3} = {R_D}x_{3} - \frac{2q{x_3}^3}{9L}} $$

Максимальный изгибающий момент получается подстановкой x3 в формулу изгибающих моментов.

$$ M_{3_{max}} = \frac{2}{3}·{R_D}\sqrt{\frac{3{R_D}L}{2q}} $$
Прогиб

Прогиб в первом пролете

$$ \boldsymbol{f_{х_1} = \frac{1}{EJ}\left[\frac{q'a^4(\frac{7x_1}{a} - \frac{10{x_1}^3}{a^3} + \frac{3{x_1}^5}{a^5})}{360} - \frac{q''a^2j^2(\frac{(10 - \frac{3j^2}{a^2})x_1}{a} - \frac{10{x_1}^3}{a^3})}{360} + \frac{{M_b}(a^2- {x_1}^2)x_1}{6a}\right]} $$

Где j обозначает область действия компенсирующей нагрузки q''1

$$ j = a - \frac{L}{4} $$ $$ q' = \frac{4qa}{3L} $$ $$ q'' = \frac{4q(4a - L)}{3L} $$

Места максимальных прогибов, от начала балки, находятся по формулам:

$$ x_{1_{f1}} = \sqrt{a^2 - \frac{\sqrt{(-30a^2q' + 30j^2q'' - 180{M_c})^2 - 60q'(7a^4q' - 10a^2j^2q'' + 60a^2{M_b} + 3j^4q'')}}{30q'} - \frac{j^2q''}{q'} + \frac{6M_b}{q'}} $$
$$ x_{2_{f1}} = \sqrt{a^2 + \frac{\sqrt{(-30a^2q' + 30j^2q'' - 180{M_c})^2 - 60q'(7a^4q' - 10a^2j^2q'' + 60a^2{M_b} + 3j^4q'')}}{30q'} - \frac{j^2q''}{q'} + \frac{6{M_b}}{q'}} $$

Прогиб во втором пролете

$$ \boldsymbol{f_{х_3} = \frac{1}{EJ}\left[\frac{qb^5(\frac{7x_2}{b} - \frac{10x_2^3}{b^3} + \frac{3x_2^5}{b^5})}{270L} + \frac{{M_c}(2b^2 - 3bx_2 + x_2^2)x_2}{6b} + \frac{{M_b}(b^2 - x_2^2)x_2}{6b}\right]} $$

Расстояние до места максимального прогиба сложно выразить математической формулой, его легче определить методом подбора. Подставляя различные значения x3 от опоры C в левую сторону до опоры B.

Прогиб в третьем пролете

$$ \boldsymbol{f_{х_3} = \frac{1}{EJ}\left[\frac{qc^5(\frac{7x_3}{c} - \frac{10x_3^3}{c^3} + \frac{3x_3^5}{c^5})}{270L} + \frac{{M_c}(c^2- x_3^2)x_3}{6c}\right]} $$

Место наибольшего прогиба отсчитывается от конца балки

$$ x_{1_{f3}} = \frac{\sqrt{30c^2 - \frac{\sqrt{15}\sqrt{32c^6q^2 + 360c^3L{M_c}q + 1215L^2{M_c}^2}}{cq} + \frac{135L{M_c}}{cq}}}{\sqrt{30}} $$
$$ x_{2_{f3}} = \frac{\sqrt{30c^2 + \frac{\sqrt{15}\sqrt{32c^6q^2 + 360c^3L{M_c}q + 1215L^2{M_c}^2}}{cq} + \frac{135L{M_c}}{cq}}}{\sqrt{30}} $$

Расчет ширины сечения

Определение ширины сечения диагонального стропила производится привычным способом — делается расчет на прочность, прогиб в пролетах и скол на опорах. Разница от предыдущих расчетов в том, что в этом случае за известную величину берется высота стропила, а не ширина, как это было во всех других калькуляторах расчета рядовых стропил. Используются формулы: