Расчет наслоного стропила со свесом, на двух опорах

Расчет сечения консольного однопролетного наслоного стропила

P C K H Q α h1 b1 h2 b2 h3 b3 1i = H/P133221–12–23–3 PCPQ HαCh1b1h2b2h3b3i = H/P3311221–12–23–3

Расчетные размеры сечений пиломатериала (доски или бруса) пригодного для изготовления стропила

По расчету сечение 1–1:  × 

По расчету сечение 2–2:  × 

По расчету сечение 3–3:  × 

Напряженное состояниеРасчетные напряжения и прогибПредельно допустимые напряжения и прогибПрочность доски использована на
Сечение 1–1
Изгиб, кг/см²σ Rизг  
Прогиб, смf fн  
Сечение 2–2
Изгиб, кг/см²σ Rизг  
Скалывание, кг/см²σск Rск  
Сечение 3–3
Изгиб, кг/см²σ Rизг  
Скалывание, кг/см²σск Rск  

Расчет показал высоту сечения стропила превышающую ширину существующих досок. Изготовление пиломатериала шириной более 275 мм не предусмотрено ГОСТом.

Попробуйте:
◊ изменить толщину стропила;
◊ уменьшить шаг установки стропил;
◊ изменить расчетную схему стропил введением подкосов и/или промежуточных прогонов (рассчитывается в другом калькуляторе);
◊ сделать индивидуальный заказ досок на лесопилке или использовать составные либо клееные пиломатериалы.

Для изготовления стропила подходит пиловочник (доска или брус), выбранный из сортамента ГОСТ 24454, сечением:

×

Напряженное состояниеРасчетные напряжения и прогибПредельно допустимые напряжения и прогибПрочность доски использована на
Сечение 1–1
Изгиб, кг/см²σ Rизг  
Прогиб, смf fн  
Сечение 2–2
Изгиб, кг/см²σ Rизг  
Скалывание, кг/см²σск Rск  
Сечение 3–3
Изгиб, кг/см²σ Rизг  
Скалывание, кг/см²σск Rск  
Примечание. Процент использования прочности вычисляется для доски подобранной по сортаменту. C одинаковым размером сечениий по всей длине доски, без учета вырезов для опорания на прогоны и мауэрлат.

При форс-мажорных обстоятельствах — выключении консолей из работы, для изготовления стропила подходит пиловочник (доска или брус), выбранный из сортамента ГОСТ 24454, сечением:

×

Дальнейший расчет стропила делается в калькуляторах размеров. При проектировании и изготовлении стропила следите за опорными вырезами. Они не должны резать доску глубже расчетных сечений. Высоту стропила нельзя делать меньше, чем указано для сечения 1–1, а высоту над вырезами меньше, чем указано для сечений 2–2 и 3–3. Выбрать из сортамента доску с большей высотой сечения, чем показал расчет, можно, меньше — нельзя. Делать высоту над вырезом больше, чем показывает расчет можно, меньше — нельзя. Обычно высоту над вырезом для опирания на прогон делают равной 3/4 или 2/3 высоты стропила, что бывает намного превышает рассчитанную на срез (скол) высоту сечения.

Тип крыши
Геометрия крыши
Уклон крыши(?)
Нагрузка действующая на крышу(?)
Прочность и жесткость материала стропила(?)


Алгоритм расчета сечения консольного стропила, на двух опорах

Расчетная схема

Расчетная схема однопролетного стропила с консолями

От действия равномерно приложенной нагрузки на консоль, в стропилах в месте опирания их на мауэрлаты возникают изгибающие моменты (Mоп) выгибающие стропило вверх. В односкатных крышах с использованием стропил с двумя консольными свесами равной длины их величина одинакова на обоих опорах (Mоп1 = Mоп2). Если длина левой и правой консолей не одинаковая, то и величина моментов на опорах будет разной (Mоп1 ≠ Mоп2). Между опорами (в пролете), от равномерно приложенной нагрузки, тоже возникает изгибающий момент (Mпр) выгибающий стропило вниз. Таким образом нагрузка, действующая на консоли, старается выгнуть всё стропило в дугу, направленную вверх, а нагрузка, действующая в пролете, старается выгнуть всё стропило в дугу, направленную вниз. Изгибающие моменты возникающие на опорах и в пролете гасят друг друга. В отличие от стропила без консолей стропило с консолями получают меньший прогиб под равной нагрузкой. Чем больше длина консолей, тем меньший прогиб в пролете получает стропило. Если рассматривать это явление на примере балок (стропила не имеют таких длинных консолей), то при длине консолей равной половине пролета, напряжение изгиба балки в середине пролета будет равно нулю и прогиб будет стремиться к нулю. При длине консолей больше половины пролета балку под действием равномерной нагрузки выгнет вверх. Максимальный момент изгиба возникающий в пролете симметричного стропила (с одинаковой длиной консолей) находится в центре пролета, в стропиле с разными длинами консолей он смещается в сторону опоры.

На стропило с двумя одинаковыми консолями давит равномерная нагрузка по всей длине стропила и реакция опор (отпор на опорах, R) получается равной величины (RA = RB). Если консли разной длины RA ≠ RB.

В двускатных крышах у стропила одна консоль. В ней возникает только два изгибающих момента: один на опоре (Mоп) гнущий стропило вверх и один в пролете (Mпр) гнущий стропило вниз.

В одноконсольной балке консоль под нагрузкой стремится повернуть всю балку на своей опоре и оторвать ее на дальней опоре. Поэтому реакции на опорах одноконсольной балки не равны и имеют разную величину (RA > RB). Реакция на конечной опоре меньше, чем реакция на консольной опоре. Иными словами стропило, имеющее две консоли одинаковой длины — стабильная и устойчивая конструкция. Её нагруженные консоли, разгибающие стропило, действуют на него с двух сторон с одинаковой силой и не отрывают стропило от опор. В стропиле с одной консолью нет второй консоли, гасить напряжение разгибающее стропило нечем. Если консоль такого стропила будет длиннее пролета, то нагрузка оторвет стропило от дальней опоры. Это — качели.

Для определения высоты сечения стропила его рассчитывают по трем состояниям:

При расчете на прогиб несимметричных двухконсольных стропил (с разной длиной консолей) у стропила может быть одновременно три точки, где его прогиб будет максимальным. При расчете реальных стропильных систем место максимального прогиба в пролете стропила часто не совпадает с местом максимального изгибающего момента. Величина прогиба балок регламентируется Строительными Нормами и Правилами. Калькулятор отдельно вычисляет место максимального изгибающего напряжения, делая расчет на прочность и отдельно место максимально прогиба, делая расчет на прогиб. Вычисляет максимальные прогибы в пролете и сравнивает их с предельно допустимыми СНиПом. Для двухконсольных стропил в калькулятор введено ограничение, запрещающее ввод длины консолей, превышающих половину пролета, а для одноконсольных длины консоли почти равной длине пролета. Ведение в калькулятор длины консоли точно равной длине пролета запрещено, так как такое состояние называется неустойчивым равновесием при нарушении которого происходит отрыв от опоры и прогиб (выгиб вверх) стремится к бесконечности.

Для получения на стропиле нулевого прогиба, сумма длин консолей двухконсольного стропила должна составлять 2·P×√5/24. Длина консоли одноконсольного стропила должна быть примерно равной 0.7·P, где P — длина пролета.

Примечание. Ниже приводится алгоритм расчета для одноконсольного стропила и двухконсольного симметричного стропила. Алгоритм расчета несимметричных консольных стропил не показан дабы не усложнять понимание расчета, но в калькулятор он введен и стропила такого вида рассчитываются.

Расчет на прочность

1. Расчетная равномерно распределенная нагрузка, действующая по площади крыши Qр (кг/м²) умножением на шаг установки стропил L (м) переводится в линейную, действующую на одно стропило qр (кг/м).

qр = Qр × L

2. Для данных расчетных схем находятся максимальные моменты изгиба в пролете Mпр и на опорах стропила с консольными свесами Mоп (кг×м), по формулам:

Примечание. Здесь показаны формулы, для расчета моментов изгиба в центре пролета и на опорах. В пролете несимметричных расчетных схем место максимального напряжения от изгиба не совпадает с центром пролета. Поэтому калькулятор эти формулы не использует, они всего лишь частный случай. Калькулятор находит в пролете место, где действует максимальный изгибающий момент и вычисляет его.

3. Определяются моменты сопротивления сечений доски в пролете Wпр и на опорах Wоп (см³) обеспечивающие прочность стропила:

4. Задается толщина b сечения доски стропила и рассчитывается высота стропила (ширина доски) для сечений 1–1 (в пролете) и сечений 2–2, 3–3 (на опорах) по формулам:

hоп1 = √6·Wоп1 / b
hоп2 = √6·Wоп2 / b
hпр = √6·Wпр / b

На этом расчет стропила на прочность закончен. Задав один из размеров сечения доски пригодной для изготовления стропила получили второй размер. Эти размеры сечения обеспечивают прочность стропила достаточную для выдерживания нагрузки, на которую производился расчет.

Расчет на прогиб

1. Нормативная равномерно распределенная нагрузка, действующая по площади крыши Qн (кг/м²) умножением на шаг установки стропил L (м) переводится в линейную, действующую на одно стропило qн (кг/м).

qн = Qн × L

2. Находим реальную длину стропила находящегося в наклонном положении отдельно для пролета Pα и консоли Cα по формулам:

Pα = P / cosα
Cα = C / cosα

3. Нормируемый прогиб стропила в пролете должен быть не более 1/200 его длины:

fн = Pα / 200

4. Определяем требуемый момент инерции при котором стропило не прогнется сверх нормативного предела. Момент инерции I (см⁴) рассчитывается по формулам:

Примечание. В данном алгоритме расчета показаны формулы, вычисляющие момент инерции от прогиба в центре пролета. В несимметричных расчетных схемах место максимального прогиба не совпадает с центром пролета. Поэтому калькулятор эти формулы не использует, они всего лишь частный случай. На самом деле калькулятор решает общее кубическое уравнение, находит место максимального прогиба и для него вычисляет момент инерции сечения стропила.

5. Задаемся той же шириной сечения стропила (толщиной доски b), которую брали в расчете на прочность и находим высоту сечения стропила в середине пролета.

hпр = ³√12·I / b

На этом расчет на прогиб закончен. Получили второй результат значений высоты сечения стропила. Эти размеры сечения обеспечивают жесткость стропила достаточную для того, чтобы стропило не прогнулось под нагрузкой сверх допустимого.

Расчет на срез (скалывание)

1. Находим значение перерезывающих сил действующих на опорах Т (кг). Они находится по формулам:

2. Рассчитываем высоту сечений на опорах h по заданной толщине доски стропила b (см).

hоп1 = 1,5·Tоп1 / (Rс·b)
hоп2 = 1,5·Tоп2 / (Rс·b)

На этом расчет на срез закончен. Получили третий результат значений высоты сечения стропила. При соблюдении этих размеров расчетная нагрузка не перережет стропило в местах опирания.

Проверка

Размеры сечений hi и bi теперь известны проверим правильно ли они определены. hi и bi — это высота и ширина сечения в разрезах, заданных или полученных расчетом.

Примечание. Калькулятор проверяет размеры сечений на опорах, в месте действия максимального момента и в месте максимального прогиба.

1. Рассчитаем момент сопротивления W (см³) и момент инерции I (см⁴) стропила в пролете и над опорами.

W'пр = bпр × hпр² / 6
Iпр = bпр × hпр³ / 12
W'оп1 = bоп1 × hоп1² / 6
W'оп2 = bоп2 × hоп2² / 6
Iоп1 = bоп1 × hоп1³ / 12
Iоп2 = bоп2 × hоп2³ / 12

2. Рассчитаем статический момент Si-i (см³) сдвигаемой части сечения над опорами.

Sоп1 = b'оп1 × h'оп1² / 8
Sоп2 = b'оп2 × h'оп2² / 8

3. Рассчитаем напряжения σ (кг/см²)в пролете стропила и над консольными опорами возникающие от его изгиба и сравним его с предельно допустимым расчетным сопротивлением изгибу Rизг (кг/см²).

σпр = (Mпр / W'пр) ≤ Rизг
σоп1 = (Mоп1 / W'оп1) ≤ Rизг
σоп2 = (Mоп2 / W'оп2) ≤ Rизг

Если σ не превышает Rизг значит сечение рассчитано верно. В нем не возникнет напряжений способных разрушить стропило.

4. Рассчитаем прогиб стропила f (см) в пролете и сравним его с предельно допустимым fн (см)

Расчетный прогиб должен быть меньше или равным нормативному прогибу: f ≤ fн.

Если расчетный прогиб f не превышает предельно допустимого fн значит сечение рассчитано верно. Стропило не прогнется сверх нормируемого прогиба.

4. Рассчитаем срезающие напряжения над опорами σск (кг/см²) и сравним их с предельно допустимым напряжением скалывания Rск (кг/см²)

σскоп1 = Tоп1 × Sоп1 / (Iоп1 × bоп1)
σскоп2 = Tоп2 × Sоп2 / (Iоп2 × bоп1)
σскоп ≤ Rск

Если расчетные напряжения скалывания σск не превышают предельно допустимого Rск значит сечения рассчитано верно. В них не возникнет напряжений способных срезать стропило на опоре.

Итог

1. Итак, получили три варианта размера сечений каждый из которых не допускает разрушение стропила для своего рода условий: прочности, жесткости, среза. Необходимо сравнить эти размеры и выбрать наибольшие для пролета и для опор. Нам не нужно стропило с размером сечения, при котором оно выдерживает нагрузку, но прогибается сверх нормы. Нам не нужно не прогибающееся стропило если нагрузка режет его об опоры или ломает в середине. Нам нужно стропило, удовлетворяющее требованиям как жесткости, так и прочности.

2. Для коротких стропил под большой нагрузкой расчет на срез, либо для стропил с длинными консолями расчёт на изгиб, может показать высоту сечения на опоре больше, чем в пролете. Тогда за основу берется высота сечения на опоре и относительно её увеличивается высота доски в пролете. Так чтобы эта высота позволила сделать в стропиле вырез для опоры на коньковый прогон и мауэрлат, а высота сечений над вырезом оставалась не меньше расчетной. В этом случае глубина выреза под опоры делается примерно равной 1/4 высоты стропила.

Высота стропила над опорой

3. Размеры сечений сравниваются с размерами досок, изготавливающихся на лесопилках по ГОСТ 24454. Для изготовления стропила выбирается доска с шириной и толщиной наиболее близкими (в сторону увеличения) к расчетным размерам сечения.

4. Пересчитываем стропило на прочность, жесткость и срез по тем же формулам которые использовали для проверки рассчитанных сечений, но сейчас подставляем в формулы те размеры сечения, которые показал сортамент ГОСТа. Сравниваем результаты расчета с предельно допустимыми напряжениями и прогибом.

Форс-мажор

Консоли стропила, сделанного с выпуском за мауэрлат, разгружают основную часть стропила, расположенную над пролетом. Что произойдет если будет установлена система снегозадержания либо снег с консольной части стропила будет счищен или сползет? Исчезнет разгружающая нагрузка и в пролетной части стропила резко возрастет изгибающий момент. Ситуация, при которой на стропиле будет присутствовать максимально возможная нагрузка над пролетом и при этом она исчезнет над консолью маловероятна, но все-таки она возможна. Поэтому проверим на прочность сечение стропила подобранного по сортаменту ГОСТа расчетом на изгиб при этом сочетании нагрузок.

1. Рассчитаем изгибающий момент в пролете без учета действия консолей по формуле:

M"пр = qр × P² / 8

2. Рассчитаем требуемый момент сопротивления сечения в пролете для изгибающего момента M"пр:

W"пр = M"пр / Rизг

3. Рассчитаем требуемую высоту сечения в пролете h":

h"пр = √6·W"пр / b

Если высота сечения по этому расчету получилась не больше выбранной по сортаменту оставляем, то сечение, которое было. Если требуется больший размер сечения выбираем из сортамента новую доску и делаем стропило из нее.

Примечание. В этом случае в калькуляторе показываются оба размера сечений стропила сделанные в основном расчете и форс-мажорном. Выберите в калькуляторе расчет двускатной крыши. Введите величину пролета 4500 мм, длину консоли 1000 мм, уклон 1 к 10, а толщину доски для стропила 32 мм. Нажмите кнопку «Рассчитать сечение» и посмотрите, как будет выглядеть результат расчета. Если сечение выбранной доски будет достаточным и при форс-мажорных обстоятельствах, то проверка будет сделана, но на экран выведен только один размер.