Расчет наслоного стропила с подкосом

Расчет сечения двухпролетного наслоного стропила

Алгоритм расчета сечения стропила, опертого на две опоры и подкос

Расчетная схема

Наслонное стропило, подпертое подкосом это двухпролётная, неразрезная балка в которой возникает три изгибающих момента. Два посредине пролетов и один направленный в противоположную сторону над средней опорой. Расчет сечения стропила делается в двух вариантах. В первом варианте для расчета сечения стропила исследуются значения изгибающего момента и прогиба в первом более длинном пролете и значение изгибающего момента над подкосом, подпирающим стропило. Во втором варианте исследуется только изгибающий момент и прогиб в первом пролете. Момент изгиба над подкосом в этом случае принимается равным нулю вследствие возможного проседания узла сочленения стропила с подкосом. Сечение стропила рассчитывается исходя из максимальных значений изгибающих моментов и прогибов, полученных из результата вычисления по обоим вариантам.

Проседание узла подпора стропила может возникнуть от особенности высыхания древесины и угла установки подкоса. Посмотрите на расчетную схему. Подкос подпирает стропило под углом, отличающимся от прямого. Значит под действием внешней нагрузки возможна просадка узла, тем более что древесина усыхает по ширине и практически не изменяет размеров вдоль волокон (по длине). Доска стропила от усыхания в поперечных размерах становится меньше, а длина подкоса остается прежней. Между ними появится щель, которая будет задавлена нагрузкой, что означает проседание узла и уменьшение над опорой изгибающего момента. Момент над опорой действовал как разгружающий фактор на моменты в пролетах. Его уменьшение или полное исчезновение автоматически увеличивает пролетные моменты. Нельзя не учитывать такой вариант развития событий, поэтому и делаются два варианта расчета: с учетом разгружающего действия среднего опорного момента и без него.

Угол установки подкоса может быть любым, но желательно не менее угла установки стропила. Если эти углы будут равны или почти равны возможно обрушение подкоса. При таком равенстве углов укрепите подкос установкой деревянного коротыша. Так же имейте ввиду и другую крайнюю ситуацию, когда крутой угол установки подкоса делает первый пролет очень большим, а второй маленьким. При определенном соотношении длин пролетов нагрузка, действующая на стропило, прогибает его в первом пролете и отрывает его конец на коньковом прогоне. Калькулятор покажет предупреждение, когда будет происходить отрыв стропила от опоры. Однако такой отрыв возможен только при расчете стропил по первому варианту, когда не учитывается проседание средней опоры. Если она просядет никакого отрыва не произойдет, но предупреждение об отрыве все равно будет показываться. Лучше учитывать негативный сценарий развития событий и подбирать сечение стропила, удовлетворяющее всем вариантам.

Подкос рассчитывается на местное смятие древесины стропила и на сжатие древесины подкоса. Подкос не должен смять древесину стропила и при этом он должен выдержать сжимающую нагрузку. Калькулятор делает расчет на сжатие с учетом гибкости подкоса. Сечение подкоса должно быть таковым чтобы под сжимающей нагрузкой он оставался ровным и не выгнулся в бок или вверх-вниз. Калькулятор проверяет подкос на гибкость как вдоль, так и поперек сечения. Необходимо отметить, что гибкость подкоса можно уменьшать другими способами, а не только подбором размера сечения, как это делает калькулятор. Например, гибкость можно уменьшить, изменив геометрию сечения, предположим придав ему крестообразную или тавровую форму путем нашивки черепных брусков либо установкой поперечных связей, схватывающих несколько подкосов. Могут быть и другие варианты.

Так же в калькуляторе предусмотрен вариант, когда подкосы не подпирают каждое стропило по отдельности, а поддерживают прогон. В этом случае подкосы подпирают каждое второе, каждое третье или каждое четвертое стропило. В подкос врубается (запиливается) прогон или пришивается на него сверху гвоздями. На этот прогон опираются одно, два или три стропила под которыми нет подкосов. Калькулятор рассчитывает сечение прогонов на сосредоточенные нагрузки от давления этих стропил. Расчет производится по двум предельным состояниям: на изгибающий момент и на прогиб. Минимальная толщина прогона берется из расчета на местное смятие древесины стропила. Калькулятор позволяет изменить размеры прогона, но не позволяет изменить его толщину на меньшую величину, чем это показал расчет на местное смятие. Так же калькулятор рассчитает количество и размер гвоздей, требуемых для крепления прогона к подкосу если это сочленение делается без врубки. В сочленении с врубкой количество гвоздей определяется конструктивно здесь они на срез не работают.

Стропило. Расчет на прочность

1. Расчетная равномерно распределенная нагрузка, действующая по площади крыши Q_р (кг/м²) умножением на шаг установки стропил L (м) переводится в линейную, действующую на одно стропило q_р (кг/м).

q_р = Q_р × L

2. Определяется момент изгиба M_b (кг×м) над подкосом. Он рассчитывается по формуле:

M_b = q_р(P₁³ - P₂³) / 8·P

3. Определяются реакции опор (кг) горизонтальной проекции стропила по формулам:

T_a = 0,5·q_р·P₁ - M_b / P₁
T_c = 0,5·q_р·P₂ - M_b / P₂
T_b = 0,5·q_р·P + M_b·P / P₁·P₂

4. Максимальный изгибающий момент в первом пролете находится в точке x = T_a / q_р и рассчитывается по формуле.

M_пр = T_a·x - 0,5·q_р·x²

Если узел соединения подкоса и стропила проседает, то изгибающий момент на средней опоре стремится к нулю, а момент изгиба в первом пролете стропила считается по формуле однопролетной балки:

M'_пр = q_р·P₁² / 8

Сравниваем M_пр и M'_пр. Выбираем максимальное значение M_{max пр}

5. Определяются моменты сопротивления сечений доски в первом пролете W_пр и на средней опоре W_b (см³) обеспечивающие прочность стропила:

W_пр = M_{max пр} / R_изг
W_b = M_b / R_изг

6. Задается толщина b (см) сечения доски стропила и рассчитывается его высота:

h_пр = √6·W_пр / b
h_b = √6·W_b / b

На этом расчет стропила на прочность закончен. Задав один из размеров сечения доски пригодной для изготовления стропила получили второй размер. Эти размеры сечения обеспечивают прочность стропила достаточную для выдерживания нагрузки, на которую производился расчет.

Стропило. Расчет на прогиб

1. Нормативная равномерно распределенная нагрузка, действующая по площади крыши Q_н (кг/м²) умножением на шаг установки стропил L (м) переводится в линейную, действующую на одно стропило q_н (кг/м).

q_н = Q_н × L

2. Максимальный прогиб стропила будет находиться на более длинном первом пролете. Фактическая длина первого пролета стропила, расположенного под углом α, равна:

P_α = P₁ / cosα

3. Нормируемый прогиб стропила должен быть не более 1/200 его длины:

f_н = P_α / 200

4. Если узел соединения подкоса к стропилу получит деформацию, то требуемый момент инерции при котором стропило не прогнется сверх нормативного предела f_н рассчитывается по формуле однопролетной балки:

I' = 5·q_н × P₁⁴ / (384·E·f_н·cosα)

Если узел не деформируется, то место максимального прогиба стропила будет находиться в точке x₁, которая находится решением кубического уравнения:

q_н·x₁³ / 6·E·I - T_a^н ·x₁² / 2·E·I + (4·T_a^н·P₁² - q_н·P₁³) / 24·E·I = 0
где T_a^н = 0,5·q_н·P₁ - M_b^н, при M_b^н = q_н(P₁³ - P₂³) / 8·P

Калькулятор умеет решать кубические уравнения. Если вы будете проверять его работу в ручном режиме, то для нахождения x₁ воспользуйтесь онлайн-сервисами решения таких уравнений. Требуемый момент инерции сечения определяется по формуле:

I = (x₁·((4·T_a^н·P₁² - q_н·P₁³)) + 4·T_a^н·x₁³ - q_н·x₁⁴) / (24·E·f_н·cosα)

Сравниваем I и I' рассчитанные с учетом проседания узла B и с учетом того, что этот узел останется жестким. Выбираем максимальное значение I_прог

5. Задаемся той же толщиной b сечения стропила, которую брали в расчете на прочность и вычисляем высоту сечения h_прогиб

h_прогиб = ³√12·I_прог / b

На этом расчет на прогиб закончен. Получили второй результат значений высоты сечения стропила. Эти размеры сечения обеспечивают жесткость стропила достаточную для того, чтобы стропило не прогнулось под нагрузкой сверх допустимого.

Стропило. Расчет на срез (скалывание)

1. Находим величину максимальных перерезывающих сил, действующих перпендикулярно оси стропила Т (кг). Они располагаются на опорах и находится по формулам:

T_a^α = T_a × cosα
T_c^α = T_c × cosα
T_b^α = T_b × cosα

2. Рассчитываем высоту сечений на опорах:

h_a = 1,5·T_a^α / (R_с·b)
h_c = 1,5·T_c^α / (R_с·b)
h_b = 1,5·T_b^α / (R_с·b)

На этом расчет на срез закончен. Получили третий результат значений высот сечения стропила. При соблюдении этих размеров расчетная нагрузка не перережет стропило в местах опирания.

Стропило. Проверка

Размеры сечений h_i и b теперь известны проверим правильно ли они определены. h_i — это высота сечения в первом пролете и на опорах полученная расчетом.

Примечание. Калькулятор проверяет размеры сечений на опорах, в месте действия максимального момента и в месте максимального прогиба.

1. Рассчитаем момент сопротивления W_i (см³) и момент инерции I_i (см⁴) стропила в пролете и над опорой B (над подкосом).

W_пр = b × h_пр² / 6
I_пр = b × h_пр³ / 12
W_b = b × h_b² / 6
I_b = b × h_b³ / 12

2. Рассчитаем напряжения σ (кг/см²) в пролете стропила и над подкосом возникающие от его изгиба и сравним его с предельно допустимым расчетным сопротивлением изгибу R_изг (кг/см²).

σ_пр = (M_{max пр} / W_пр) ≤ R_изг
σ_опB = (M_b / W_b) ≤ R_изг

Если σ не превышает R_изг значит сечения рассчитаны, верно. В них не возникнет напряжений способных разрушить стропило.

3. Рассчитаем прогиб стропила f (см) в пролете и сравним его с предельно допустимым f_н (см)

• с учетом проседания узла B
  f' = 5·q_н × P₁⁴ / (384·E·I_пр·cosα)
• без учета проседания узла B
  f = (x₁·((4·T_a^н·P₁² - q_н·P₁³)) + 4·T_a^н·x₁³ - q_н·x₁⁴) / (24·E·I_пр·cosα)

Расчетные прогибы должны быть меньше или равными нормативному прогибу: f и f' ≤ f_н.

Если расчетные прогибы f и f' не превышают предельно допустимого f_н значит сечение рассчитано верно. Стропило не прогнется сверх нормируемого прогиба.

4. Рассчитаем статический момент S_i (см³) сдвигаемой части сечения над опорами A, B и C.

S_a = b × h_a² / 8
S_b = b × h_b² / 8
S_c = b × h_c² / 8

5. Рассчитаем момент инерции Ii (см⁴) сечений стропила над опорами A и C.

I_a = b × h_a³ / 12
I_c = b × h_c³ / 12

6. Рассчитаем срезающие напряжения над опорами σ_ск (кг/см²) и сравним их с предельно допустимым напряжением скалывания R_ск (кг/см²)

σ_ск^a = T_a × S_a / (I_a × b)
σ_ск^b = T_b × S_b / (I_b × b)
σ_ск^c = T_c × S_c / (I_c × b)
σ_ск^{a, b, c} ≤ R_ск

Если расчетные напряжения скалывания σ_ск не превышают предельно допустимого R_ск значит сечения рассчитано, верно. В них не возникнет напряжений способных срезать стропило на опоре.

Стропило. Итог

1. Итак, получили четыре варианта размера сечений каждый из которых не допускает разрушение стропила для своего рода условий: прочности, жесткости, среза. Необходимо сравнить эти размеры и выбрать наибольшие для пролета и для опор.

2. Для коротких стропил под большой нагрузкой расчет на срез может показать высоту сечения на опоре больше, чем в пролете. Тогда за основу берется высота сечения на опоре относительно которой увеличивается высота доски в пролете. Так чтобы эта высота позволила сделать в стропиле вырез для опоры на коньковый прогон, а высота сечения над вырезом осталась не меньше расчетной. В этом случае глубина выреза для опоры на прогон делается примерно равной 1/4 высоты стропила.

3. Размеры сечений сравниваются с размерами досок, изготавливающихся на лесопилках по ГОСТ 24454. Для изготовления стропила выбирается доска из сортамента ГОСТа с шириной и толщиной наиболее близкими (в сторону увеличения) к расчетным размерам сечения.

4. Пересчитываем стропило на прочность, жесткость и срез по тем же формулам которые использовали для проверки рассчитанных сечений, но сейчас подставляем в формулы те размеры сечения, которые показал сортамент ГОСТа. Сравниваем результаты расчета с предельно допустимыми напряжениями и прогибом.

Стропило. Минимальная глубина врубки

1. При известной толщине стропила b, рассчитываем требуемую глубину опирания стропила на мауэрлат (a_м) и коньковый прогон (a_к) при которой образуется площадь опирания не допускающая смятия древесины. По формуле:

a_м = T_a / (R_{см 90} · b)

a_к = T_b / (R_{см 90} · b)

где T_i — сила сжатия, действующая на опору под стропилом в точке А и точке B, равная опорным реакциям Т_a = Т_b = (0,5·q_р × P).

2. Умножением глубины площадки смятия на синус угла наклона стропила получаем глубину врубки, обеспечивающую минимальную площадь опирания не допускающую смятия древесины опорных балок:

h_м = a_м × sinα

h_к = a_к × sinα

Этот расчет дает нам минимальные размеры врубок, а расчеты выше, показывающие размеры сечений стропила на опорах, дают минимальные размеры сечений, которые должны остаться после изготовления врубок. Между этими двумя предельными размерами и нужно назначить свои размеры врубок, обеспечивающие надежное закрепление стропила и не допускающие его разрушения.

Подкос. Расчет на местное смятие древесины стропила

1. Определяем величину острого угла γ расположенного между подкосом и стропилом

ϑ = α + β

2. Определяем силу, сжимающую подкос. По первому закону Ньютона сила, с которой стропило давит на подкос равна силе, с которой подкос давит на стропило. Для подкосов, расположенных под каждым стропилом, она будет равна:

N₀ = T_b × cosα/sinϑ

Для подкосов, поддерживающих прогон, она должна быть увеличена еще на такую же величину с коэффициентами 0,5 1,0 1,5 соответственно, когда на прогон между стропилами опирается одно, два или три стропила.

N₁ = (T_b + 0,5·T_b) × cosα/sinϑ — на прогоне одно стропило.
N₂ = (T_b + T_b) × cosα/sinϑ — на прогоне два стропила.
N₃ = (T_b + 1,5·T_b) × cosα/sinϑ — на прогоне три стропила.

3. Определяем расчетное сопротивление древесины стропила смятию его подкосом давящем под углом к волокнам γ:

R_{см ϑ} = R_см / ((1 + ((R_см / R_{см 90°}) - 1) × sin³ϑ)

4. При толщине подкоса равной толщине стропила b, рассчитываем требуемую высоту сечения подкоса h_см по формуле:

h_см = N_i / (R_{см γ}·b)

где N_i — сила сжатия подкоса, установленного под каждым прогоном или поддерживающего прогон нагруженный одним, двумя или тремя стропилами.

На этом расчет на смятие стропила подкосом окончен. Определены размеры сечения подкоса, при котором этого смятия не произойдет.

Подкос. Расчет на сжатие

1. Определяем величину тупого угла γ расположенного между подкосом и стропилом

γ = 180 - (α + β) = 180 - ϑ

2. По теореме синусов находим длину подкоса:

L_пд = P × sinα/sinγ

3. При толщине подкоса равной толщине стропила b, рассчитываем радиус инерции прямоугольного сечения относительно ширины доски:

r_b = b / √12

5. По длине подкоса и радиусу инерции его сечения определяем гибкость подкоса λ:

λ = L_пд / r_b

6. Рассчитываем коэффициент продольного изгиба φ:

при λ ≤ 70,   φ = 1 - 0,8 × (λ / 100)²
при λ > 70,   φ = 3000 / λ²

7. Определяем высоту сечений подкоса подобранные по расчету на сжатие с учетом гибкости подкоса h_i.

h_i = N_i / R·b·φ

где h_i высота сечения для подкоса, подпирающего стропило без прогона и с прогоном на которые опирается одно, два или три стропила (h₀, h₁, h₂, h₃).

Сравниваем размеры сечения подкоса, полученные расчетом на смятие и на сжатие с изгибом, и выбираем наибольшее. На этом расчет подкоса закончен.

Подкос. Проверка

1. Рассчитываем напряжение смятия σ_{см i} и сравниваем его с предельно допустимым R_{см ϑ}

σ_{см i} = N_i / F_i

если σ_{см i} ≤ R_{см ϑ} размер сечения подкоса рассчитан, верно.

2. Определяем радиус инерции сечения подкоса относительно ширины и высоты сечения.

r_b = b / √12
r_h = h / √12

3. По длине подкоса и радиусам его инерции сечения определяем гибкость по ширине и толщине подкоса λ_b и λ_h:

λ_b = L_пд / r_b
λ_h = L_пд / r_h

4. Рассчитываем коэффициент продольного изгиба по ширине и толщине подкоса φ_b и φ_h:

при λ_b ≤ 70,   φ_b = 1 - 0,8 × (λ_b / 100)²
если λ_b > 70,   φ_b = 3000 / λ_b²
при λ_h ≤ 70,   φ_h = 1 - 0,8 × (λ_h / 100)²
если λ_h > 70,   φ_h = 3000 / λ_h²

5. Рассчитываем напряжения сжатия σ_{сж i} и сравниваем его с предельно допустимым напряжением сжатия R.

σ_{сж i} = N_i / F_i·φ

если σ_{сж i} ≤ R размер сечения подкоса рассчитан, верно.

Прогон. Расчет на изгиб

1. Для прогонов, нагруженных сосредоточенными силами от одного, двух или трех стропил рассчитываем изгибающие моменты M_i.

М₁ = T_b × L / 2
М₂ = T_b × L
М₃ = T_b × 2·L

2. Для каждого изгибающего момента определяем момент сопротивления сечения прогона, при котором будет обеспечена его прочность W_i.

W₁ = M_b / R_изг
W₂ = M_b / R_изг
W₃ = M_b / R_изг

3. Прогон находится под стропилами поэтому его толщина должна быть не меньше высоты смятия определенной в предыдущем расчете, где расчитывалась площадь местного смятия стропила подкосом.

b_пр = h_см

4. Высота площади местного смятия стропила величина расчетная, а прогон будет делаться из досок, напиленных пилорамой. Поэтому толщину прогона нужно выбрать по сортаменту. Эта толщина должна превышать расчетную высоту смятия.

b_пр^{Сортамент} ≥ b_пр = h_см

5. По заданной ширине сечения (толщине прогона) рассчитываем его высоту.

h_пр = √6·W_i / b_пр^{Сортамент}

Примечание. Калькулятор после первого подбора размеров сечения прогона позволяет изменить его толщину и пересчитать прогон. При вводе других толщин досок, из которых будет изготовлен прогон, калькулятор запрещает ввод толщины меньше высоты пятна местного смятия стропила.

На этом расчет на прочность прогона окончен. При заданной толщине b_пр^{Сортамент} найдена требуемая высота прогона.

Прогон. Расчет на прогиб

1. Прогоны, нагруженные разным количеством стропил, имеют разную длину. Определим предельно допустимый прогиб прогонов f_{н i}, (см).

f_{н 1} = 2·L / 200
f_{н 2} = 3·L / 200
f_{н 3} = 4·L / 200

2. Расчет на прогиб делается на нормативные нагрузки. Пересчитаем величину опорной реакции от подкоса на нормативную нагрузку

T_b^н = 0,5·q_н·P + M_b^н·P / P₁·P₂
где M_b^н = q_н·(P₁³ - P₂³) / 8·P

3. Рассчитаем требуемый момент инерции сечения прогона I_i при котором он не прогнется сверх допустимого предела.

I₁ = T_b^н × (2·L)³ / (48·E·f_{н 1})
I₂ = 23·T_b^н × (3·L)³ / (648·E·f_{н 2})
I₃ = 19·T_b^н × (4·L)³ / (384·E·f_{н 3})

4. Задаемся той же толщиной b_пр^{Сортамент} сечения прогона, которую брали в расчете на прочность и вычисляем высоту сечения h_{прогиб i}

h_{прогиб i} = ³√12·I_i / b_пр^{Сортамент}

Расчет на прогиб прогона закончен. Определили втрое значение высоты сечения прогона, при котором он не прогнется больше допустимой величины.

Прогон. Расчет гвоздевого соединения с подкосом

1. Прогон может быть соединен с подкосом врубкой либо уложен на него сверху и прибит гвоздями. Длина и диаметр гвоздей выбирается из сортамента не менее удвоенной толщины прогона. Размеры гвоздей подставляются в формулы в сантиметрах.

l_гв ≥ b_пр^{Сортамент}

2. Проводим расчет на смятие гвоздем древесины прогона. Сила смятия, создаваемая одним гвоздем, вычисляется по формуле;

T_см = 150·b_пр·d_гв

2. Проводим расчет на изгиб (срез) гвоздя в соединении прогона с подкосом. Сила среза, возникающая в одном гвозде, вычисляется по формуле;

T_ср = 310·d_гв² + 1,2·(l_гв - 1,5·d_гв - b_пр^{Сортамент} - 0,2)

где l_гв — длина гвоздя по сортаменту; 1,5·d_гв — длина острия гвоздя; 0,2 — толщина шва сплачивания (щель между прогоном и подкосом 2 мм, СНиПовская норма), d_гв — диаметр гвоздя по сортаменту. Все размеры в сантиметрах, диаметр гвоздя, если в сортаменте есть выбор между двух значений, калькулятор выбирает наименьший.

2. Сравниваем какое состояние опаснее: смятие гвоздем древесины прогона или срез (изгиб) гвоздя между прогоном и подкосом. Выбираем между T_см и T_ср максимальное значение T_{гв max}. Вычисляем требуемое количество гвоздей для одного стыка.

n = N_i / T_{гв max}

Это количество гвоздей будет достаточным для того, чтобы под действием на крышу нагрузки она не срезала прогон с подкоса. В этом случае гвозди не изогнутся и не раздолбят (сомнут) древесину прогона. Калькулятор в расчете использует минимально возможные длины и диаметры гвоздей для рассчитанных им размеров прогона. Если необходимо можно вручную пересчитать гвоздевое соединение, используя приведенные здесь формулы для гвоздей с большими размерами. Для этого калькулятор показывает величину силы, срезающей прогон с подкоса.

Прогон. Проверка

1. Размеры сечения прогона определены предыдущими вычислениями. Рассчитаем моменты сопротивления W_i (см³) и моменты инерции I_i (см⁴) прогона нагруженного одним, двумя или тремя стропилами.

W₁ = b × h₁² / 6
W₂ = b × h₂² / 6
W₃ = b × h₃² / 6
I₁ = b × h₁³ / 12
I₂ = b × h₂³ / 12
I₃ = b × h₃³ / 12

2. Рассчитаем напряжения σ (кг/см²) возникающие в прогоне от его изгиба и сравним их с предельно допустимым расчетным сопротивлением изгибу R_изг (кг/см²).

σ_i = (M_i / W_i) ≤ R_изг

Если σ_i не превышает R_изг значит сечения прогона рассчитаны, верно.

3. Рассчитаем прогибы стропила f_i (см) в пролете и сравним его с предельно допустимым f_{н i} (см)

f₁ = T_b^н × (2·L)³ / (48·E·I₁)
f₂ = 23·T_b^н × (3·L)³ / (648·E·I₂)
f₃ = 19·T_b^н × (4·L)³ / (384·E·I₃)

Если расчетные прогибы f_i не превышают предельно допустимых f_{н i} значит сечение прогонов рассчитано верно.