Расчет консольного стропила на трех опорах

Расчет сечения двухпролетного консольного стропила

P P1 P2 K C P'1 P'2 H Hп Q α h1 b1 h2 b2 h3 b3 h4 b4 h5 b5 2–23–34–45–51i = H/P1554422331–1 P P1 P2 P'1 P'2 C H Hп Q α h1 b1 h2 b2 h3 b3 h4 b4 h5 b5 i = H/P11223344551–12–23–34–45–5

Расчетные размеры сечений пиломатериала (доски или бруса) пригодного для изготовления стропила, подкоса и прогона

По расчету на изгиб, скалывание и прогиб требуются размеры сечений не менее:

1–1 × 

2–2 × 

3–3 × 

4–4 × 

5–5 × 

Напряженное состояниеРасчетные напряжения и прогибПредельно допустимые напряжения и прогибПрочность расчетного сечения использована на
Сечение 1–1
Изгиб, кг/см²σ Rизг  
Прогиб, смf fн  
Сечение 5–5
Изгиб, кг/см²σ Rизг  
Прогиб, смf fн  
Сечение 2–2
Изгиб, кг/см²σ Rизг  
Скалывание, кг/см²σск Rск  
Сечение 3–3
Изгиб, кг/см²σ Rизг  
Скалывание, кг/см²σск Rск  
Сечение 4–4
Изгиб, кг/см²σ Rизг  
Скалывание, кг/см²σск Rск  

Стропило

Для изготовления стропила подходит пиловочник (доска или брус), выбранный из сортамента ГОСТ 24454, сечением:

×

Напряженное состояниеРасчетные напряжения и прогибПредельно допустимые напряжения и прогибПрочность доски использована на
Сечение 1–1
Изгиб, кг/см²σ Rизг  
Прогиб, смf fн  
Сечение 5–5
Изгиб, кг/см²σ Rизг  
Прогиб, смf fн  
Сечение 2–2
Изгиб, кг/см²σ Rизг  
Скалывание, кг/см²σск Rск  
Сечение 3–3
Изгиб, кг/см²σ Rизг  
Скалывание, кг/см²σск Rск  
Сечение 4–4
Изгиб, кг/см²σ Rизг  
Скалывание, кг/см²σск Rск  
Примечание. Процент использования прочности вычисляется для доски подобранной по сортаменту. C одинаковым размером сечениий по всей длине доски, без учета вырезов для опорания на прогоны и мауэрлат.
Стропило

Расчет показал высоту сечения стропила превышающую ширину существующих досок. Изготовление пиломатериала шириной более 275 мм не предусмотрено ГОСТом.

Попробуйте:
◊ изменить толщину стропила;
◊ уменьшить шаг установки стропил;
◊ сделать индивидуальный заказ досок на лесопилке или использовать составные либо клееные пиломатериалы.

Стропило

Расчет показал высоту сечения 3–3 как отрицательную величину. Превышение длинны первого пролета над длиной второго пролета достигло такой величины, при которой стропило отрывается от конькового прогона.

Попробуйте:
◊ изменить расчетную схему уменьшением первого P1 и увеличением второго пролета P2.

Дальнейший расчет стропила делается в калькуляторах размеров. При проектировании и изготовлении стропила следите за опорными вырезами. Они не должны резать доску глубже расчетных сечений. Высоту стропила нельзя делать меньше, чем указано для сечений пролета, а высоту над вырезами меньше, чем указано для сечений над опорами. Выбрать из сортамента доску с большей высотой сечения, чем показал расчет, можно, меньше — нельзя. Делать высоту над опорным вырезом больше, чем показывает расчет можно, меньше — нельзя. Обычно высоту над вырезом для опирания на прогон делают равной 3/4 или 2/3 высоты стропила, что бывает намного превышает рассчитанную на срез (скол) высоту сечения.

Тип крыши
Геометрия крыши
Уклон крыши(?)


Нагрузка действующая на крышу(?)
Прочность и жесткость материала стропила(?)


Продолжить расчет размеров стропила

Алгоритм расчета сечения стропила, опертого на мауэрлат и два прогона

Расчетная схема

Наслонное консольное стропило на трех опорах это неразрезная балка, в которой возникает три изгибающих момента. Два в пролетах и один направленный в противоположную сторону над средней опорой. В калькуляторе конструкция среднего прогона не рассматривается. Калькулятор раcсчитывает только размеры сечения стропила, расположенного на трех жестких опорах. Расчет прогонов в виду разнообразия их конструкций будет реализован в другом калькуляторе.

Расчетная схема двухпролетного консольного стропила с опорой на прогон

Сечение стропила рассчитывается по трем изгибающим моментам — в пролетах и на опоре, и по двум прогибам в пролетах. Сечение над всеми тремя опорами рассчитывается на скол от перерезывающих сил. Калькулятор при расчете стропила на жесткость подбирает размеры сечения в месте максимального прогиба. Так как у стропила имеются консоли максимальный прогиб не всегда находиться на более длинном пролете, поэтому калькулятор исследует глубину прогибов в обоих пролетах. Если же прогиб в одном из пролетов очевидно больше прогиба в другом пролете, то на жёсткость рассчитывается только этот пролет, а другой игнорируется. Очевидность места, где появится максимальный прогиб калькулятор определяет по решению кубических уравнений для обоих пролетов. Когда оба уравнения показывают действительные корни калькулятор считает прогибы в обоих пролетах и выбирает наибольший. Если же одно из уравнений показывает мнимые корни, то калькулятор исключает этот пролет из расчета на жесткость. При подборе доски для изготовления стропила все равно будет выбрана доска по наибольшим размерам рассчитанных сечений. Исследовать жесткость пролета, в котором не будет максимального прогиба нет смысла. Калькулятор в таблице рассчитанных сечений поставит прочерк для этой характеристики.

Расчет на прочность

1. Расчетная равномерно распределенная нагрузка, действующая по площади крыши Qр (кг/м²) умножением на шаг установки стропил L (м) переводится в линейную, действующую на одно стропило qр (кг/м).

qр = Qр × L

2. Определяются моменты изгиба M (кг×м) над опорами. Они рассчитывается по формуле:

Ma = qр × C² / 2
Mc = qр × K² / 2

3. Определяются момент изгиба M (кг×м) над прогоном. Сначала раcсчитывается дополнительный момент создаваемый нагрузкой на консолях:

M = -Mc·P2 / 2·P - Ma·P1 / 2·P

Затем полный момент создаваемый нагрузкой действующей на пролеты и консоли вместе:

Mb = -qр·(P1³ + P2³) / 8·P + qр·(P1·C² + P2·K²) / 4·P

4. Определяются реакции опор (кг) горизонтальной проекции стропила. Сначала дополнительные от нагрузки на консоли по формулам:

T = M / P1
T = qр·K - M / P2 + M / P2
T = Mc / P2 - M / P2 - M / P1

Затем полные от нагрузки на консоли и пролеты:

Ta = qр × (0,5·P1 - (P1³ + P2³) / 8·P·P1 + C + C² / 2·P1 + C²/ 4·P + P2·K² / 4·P·P1)
Tc = qр × (0,5·P2 - (P1³ + P2³) / 8·P·P2 + K + K² / 2·P2 + K²/ 4·P + P1·C² / 4·P·P2)
Tb = qр × (0,5·P + (P1³ + P2³) / 8·P1·P2 - C² / 2·P1 - C²/ 4·P - P1·C² / 4·P·P2 - K² / 2·P2 - K²/ 4·P - P2·K² / 4·P·P1)

4. Максимальные изгибающие моменты в пролетах находится в точках xпр1 = Ta / qр и xпр2 = Tc / qр. Длина xпр1 отсчитывается вправо от начала стропила, а длина xпр2 влево от конца стропила (длины отсчитываются не от опор, а от концов). Формулы для нахождения величины моментов в пролетах:

Mпр1 = Ta·xпр1 - 0,5·qр·x²пр1
Mпр2 = Tс·xпр2 - 0,5·qр·x²пр2

5. Определяются моменты сопротивления сечений доски в пролетах Wпр и на опорах Wi (см³) обеспечивающие прочность стропила:

Wпр1 = Mпр1 / Rизг
Wпр2 = Mпр2 / Rизг
Wa = Ma / Rизг
Wb = Mb / Rизг
Wc = Mc / Rизг

6. Задается толщина b (см) сечения доски стропила и рассчитывается его высота:

hпр1 = √6·Wпр1 / b
hпр2 = √6·Wпр2 / b
ha = √6·Wa / b
hb = √6·Wb / b
hc = √6·Wc / b

На этом расчет стропила на прочность закончен. Задав один из размеров сечения доски пригодной для изготовления стропила получили второй размер. Эти размеры сечений обеспечивают прочность стропила достаточную для выдерживания нагрузки, на которую производился расчет.

Расчет на прогиб

1. Нормативная равномерно распределенная нагрузка, действующая по площади крыши Qн (кг/м²) умножением на шаг установки стропил L (м) переводится в линейную, действующую на одно стропило qн (кг/м).

qн = Qн × L

2. Фактическая длина пролетов стропила, расположенного под углом α, равна:

P = P1 / cosα
P = P2 / cosα

3. Нормируемый прогиб стропила должен быть не более 1/200 длины наибольшего пролета:

f = P / 200
f = P / 200

4. По приведенным выше формулам пересчитать изгибающие моменты и опорные ракции на нормативную нагрузку. Подставить в формулы qн вместо qр и получить значения Mbн, Taн, Tcн.

5. Требуемый момент инерции Ii, при котором стропило не прогнется сверх нормативного предела fн рассчитывается по формуле двухпролетной балки для первого и второго пролета соответственно:

I1 = (qн·C⁴ + (C - x1)·(4·Ta·P1² – qн·((P1 + C)⁴ – C⁴)) / P1 + 4·Ta·(x1 - C)³ – qн·x1⁴) / (24·E·fн·cosα)
I2 = (qн·K⁴ + (K - x2)·(4·Tc·P2² – qн·((P2 + K)⁴ – K⁴)) / P2 + 4·Tc·(x2 - K)³ – qн·x2⁴) / (24·E·fн·cosα)

Значения x1 и x2 показывают расстояние до точки, в которой стропило будет иметь максимальный прогиб. Она находится в первом или втором пролете в зависимости от того который больше и длины консолей. Для первого пролета эта точка отсчитывается вправо от начала стропила, для второго — влево от конца стропила. Для стропила с двумя консолями точки x1 и x2 находятся решением кубических уравнений:

qн·x1³ / 6·E·I - Taн ·(x1 - C)² / 2·E·I + (4·TaнP1² – qн((P1 + C)⁴ – C⁴)/P1)/24·E·I = 0
qн·x2³ / 6·E·I - Tсн ·(x2 - C)² / 2·E·I + (4·TcнP2² – qн((P2 + K)⁴ – K⁴)/P2)/24·E·I = 0

Для стропила с одной консолью точки x1 и x2 находятся решением кубических уравнений:

qн·x1³ / 6·E·I - Taн ·(x1 - C)² / 2·E·I + (4·TaнP1² - qн((P1 + C)⁴ - C⁴) / P1) / 24·E·I = 0
qн·x2³ / 6·E·I - Tсн ·x2² / 2·E·I + (4·Tcн·P2² - qн·P2³) / 24·E·I = 0

Решение уравнений с неизвестным в третей степени сложная задача. Если вы будете проверять калькулятор, то воспользуйтесь онлайн-сервисами, они есть в интернете. Калькулятор решает эти уравнения в процессе расчета стропила.

5. Задаемся той же толщиной b сечения стропила, которую брали в расчете на прочность и вычислим высоту сечения hif для наибольшего пролета

h1f = ³√12·I1 / b
h2f = ³√12·I2 / b

На этом расчет на прогиб закончен. Получили еще один результат значений высоты сечения стропила. Эти размеры сечения обеспечивают жесткость стропила достаточную для того, чтобы стропило не прогнулось под нагрузкой сверх допустимого.

Расчет на срез (скалывание)

1. Находим величину максимальных перерезывающих сил, действующих перпендикулярно оси стропила Т (кг). Они располагаются на опорах и находится по формулам:

Taα = Ta × cosα
Tcα = Tc × cosα
Tbα = Tb × cosα

2. Рассчитываем высоту сечений на опорах:

ha = 1,5·Taα / (Rс·b)
hc = 1,5·Tcα / (Rс·b)
hb = 1,5·Tbα / (Rс·b)

На этом расчет на срез закончен. Получили третий результат значений высот сечения стропила. При соблюдении этих размеров расчетная нагрузка не перережет стропило в местах опирания.

Проверка

Размеры сечений hi и b теперь известны проверим правильно ли они определены. hi — это высота сечений в пролетах и на опорах полученная расчетом.

Примечание. Калькулятор проверяет размеры сечений на опорах, отдельно в месте действия максимального момента и отдельно в месте максимального прогиба.

1. Рассчитаем момент сопротивления Wi (см³) и момент инерции Ii (см⁴) стропила в пролетах и над опорой B (над прогоном).

W1пр = b × h1пр² / 6
I1пр = b × h1пр³ / 12
W2пр = b × h2пр² / 6
I2пр = b × h2пр³ / 12
Wa = b × ha² / 6
Ia = b × ha³ / 12
Wb = b × hb² / 6
Ib = b × hb³ / 12
Wc = b × hc² / 6
Ic = b × hc³ / 12

2. Рассчитаем напряжения σ (кг/см²), в пролете стропила и над прогоном, возникающие от его изгиба и сравним его с предельно допустимым расчетным сопротивлением изгибу Rизг (кг/см²).

σпр = (M1пр / W1пр) ≤ Rизг
σпр = (M2пр / W2пр) ≤ Rизг
σопA = (Ma / Wa) ≤ Rизг
σопB = (Mb / Wb) ≤ Rизг
σопC = (Mc / Wc) ≤ Rизг

Если σ не превышает Rизг значит сечения рассчитаны, верно. В них не возникнет напряжений способных разрушить стропило.

3. Рассчитаем прогиб стропила f (см) в наибольшем пролете и сравним его с предельно допустимым fн (см)

f1 = (qн·C⁴ + (C - x1)·(4·Ta·P1² – qн·((P1 + C)⁴ – C⁴)) / P1 + 4·Ta·(x1 - C)³ – qн·x1⁴) / (24·E·I1·cosα)
f2 = (qн·K⁴ + (K - x2)·(4·Tc·P2² – qн·((P2 + K)⁴ – K⁴)) / P2 + 4·Tc·(x2 - K)³ – qн·x2⁴) / (24·E·I2·cosα)

Расчетные прогибы должны быть меньше или равными нормативному прогибу: f1 ≤ f и f2 ≤ f.

Если расчетные прогибы fi не превышают предельно допустимого f значит сечение рассчитано верно. Стропило не прогнется сверх нормируемого прогиба.

4. Рассчитаем статический момент Si (см³) сдвигаемой части сечения над опорами A, B и C.

Sa = b × ha² / 8
Sb = b × hb² / 8
Sc = b × hc² / 8

5. Рассчитаем момент инерции Ii (см⁴) сечений стропила над опорами A и C.

Ia = b × ha³ / 12
Ic = b × hc³ / 12

6. Рассчитаем срезающие напряжения над опорами σск (кг/см²) и сравним их с предельно допустимым напряжением скалывания Rск (кг/см²)

σскa = Ta × Sa / (Ia × b)
σскb = Tb × Sb / (Ib × b)
σскc = Tc × Sc / (Ic × b)
σскa, b, c ≤ Rск

Если расчетные напряжения скалывания σск не превышают предельно допустимого Rск значит сечения рассчитано, верно. В них не возникнет напряжений способных срезать стропило на опоре.

Итог

1. Итак, получили пять варианта размера сечений каждый из которых не допускает разрушение стропила для своего рода условий: прочности, жесткости, среза. Необходимо сравнить эти размеры и выбрать наибольшие для пролета и для опор.

2. Для коротких стропил под большой нагрузкой расчет на срез может показать высоту сечения на опоре больше, чем в пролете. Тогда за основу берется высота сечения на опоре относительно которой увеличивается высота доски в пролете. Так чтобы эта высота позволила сделать в стропиле вырез для опоры на коньковый прогон, а высота сечения над вырезом осталась не меньше расчетной. В этом случае глубина выреза для опоры на прогон делается примерно равной 1/4 высоты стропила.

Высота стропила над опорой

3. Размеры сечений сравниваются с размерами досок, изготавливающихся на лесопилках по ГОСТ 24454. Для изготовления стропила выбирается доска из сортамента ГОСТа с шириной и толщиной наиболее близкими (в сторону увеличения) к расчетным размерам сечения.

4. Пересчитываем стропило на прочность, жесткость и срез по тем же формулам, которые использовали для проверки рассчитанных сечений, но сейчас подставляем в формулы те размеры сечения, которые показал сортамент ГОСТа. Сравниваем результаты расчета с предельно допустимыми напряжениями и прогибом.