Расчет наслоного стропила на трех опорах

Расчет сечения двухпролетного наслоного стропила

P P1 P2 P'1 P'2 H Hп Q α h1 b1 h3 b3 h4 b4 h5 b5 1i = H/P1554422331–1 и 2–25–54–43–3 P P1 P2 P'1 P'2 H Hп Q α h1 b1 h3 b3 h4 b4 h5 b5 i = H/P4–43–35–511554422331–1 и 2–2

Расчетные размеры сечений пиломатериала (доски или бруса) пригодного для изготовления стропила, подкоса и прогона

По расчету на изгиб, скалывание и прогиб требуются размеры сечений не менее:

1–1 × 

2–2 × 

3–3 × 

4–4 × 

5–5 × 

Напряженное состояниеРасчетные напряжения и прогибПредельно допустимые напряжения и прогибПрочность расчетного сечения использована на
Сечение 1–1
Изгиб, кг/см²σ Rизг  
Прогиб, смf fн  
Сечение 5–5
Изгиб, кг/см²σ Rизг  
Прогиб, смf fн  
Сечение 2–2
Скалывание, кг/см²σск Rск  
Сечение 3–3
Скалывание, кг/см²σск Rск  
Сечение 4–4
Изгиб, кг/см²σ Rизг  
Скалывание, кг/см²σск Rск  
Сечение Прогона
Изгиб, кг/см²σ Rизг  
Прогиб, смf fн  

Стропило

Для изготовления стропила подходит пиловочник (доска или брус), выбранный из сортамента ГОСТ 24454, сечением:

×

Напряженное состояниеРасчетные напряжения и прогибПредельно допустимые напряжения и прогибПрочность доски использована на
Сечение 1–1
Изгиб, кг/см²σ Rизг  
Прогиб, смf fн  
Сечение 5–5
Изгиб, кг/см²σ Rизг  
Прогиб, смf fн  
Сечение 2–2
Скалывание, кг/см²σск Rск  
Сечение 3–3
Скалывание, кг/см²σск Rск  
Сечение 4–4
Изгиб, кг/см²σ Rизг  
Скалывание, кг/см²σск Rск  
Примечание. Процент использования прочности вычисляется для доски подобранной по сортаменту. C одинаковым размером сечениий по всей длине доски, без учета вырезов для опорания на прогоны и мауэрлат.
Стропило

Расчет показал высоту сечения стропила превышающую ширину существующих досок. Изготовление пиломатериала шириной более 275 мм не предусмотрено ГОСТом.

Попробуйте:
◊ изменить толщину стропила;
◊ уменьшить шаг установки стропил;
◊ сделать индивидуальный заказ досок на лесопилке или использовать составные либо клееные пиломатериалы.

Стропило

Расчет показал высоту сечения 3–3 как отрицательную величину. Превышение длинны первого пролета над длиной второго пролета достигло такой величины, при которой стропило отрывается от конькового прогона.

Попробуйте:
◊ изменить расчетную схему уменьшением первого P1 и увеличением второго пролета P2.

Дальнейший расчет стропила делается в калькуляторах размеров. При проектировании и изготовлении стропила следите за опорными вырезами. Они не должны резать доску глубже расчетных сечений. Высоту стропила нельзя делать меньше, чем указано для сечений пролета, а высоту над вырезами меньше, чем указано для сечений над опорами. Выбрать из сортамента доску с большей высотой сечения, чем показал расчет, можно, меньше — нельзя. Делать высоту над опорным вырезом больше, чем показывает расчет можно, меньше — нельзя. Обычно высоту над вырезом для опирания на прогон делают равной 3/4 или 2/3 высоты стропила, что бывает намного превышает рассчитанную на срез (скол) высоту сечения.

Тип крыши
Геометрия крыши
Уклон крыши(?)


Нагрузка действующая на крышу(?)
Прочность и жесткость материала стропила(?)


Продолжить расчет размеров стропила

Алгоритм расчета сечения стропила, опертого на мауэрлат и два прогона

Расчетная схема

Наслонное стропило на трех опорах это неразрезная балка, в которой возникает три изгибающих момента. Два в пролетах и один направленный в противоположную сторону над средней опорой. В отличии от стропила с подкосом в этом случае расчет сечения стропила делают по одному варианту — опора в точке B считается неподвижной. В расчетной схеме с подкосом подпирающим стропило была возможна просадка среднего узла в данной расчетной схеме средний прогон обычно поддерживается стойками, так же как и коньковый прогон либо его рассчитывают на прогиб если он расположен по всей длине здания и оперт на фронтонные стены. Иными словами, средний прогон считаем неподвижной жесткой опорой. Его конструкция может быть сделана в виде балки или фермы, его можно подпереть стойками, подкосами или другими типами конструкций, например, фермами висячих стропил. В калькуляторе конструкция среднего прогона не рассматривается. Калькулятор считает только размеры сечения стропила, расположенного на трех жестких опорах. Расчет прогонов в виду разнообразия их конструкций будет реализован в другом калькуляторе.

Расчетная схема двухпролетного стропила с опорой на прогон

Сечение стропила рассчитывается по трем изгибающим моментам — в пролетах и на опоре, и по двум прогибам в пролетах. Сечение над всеми тремя опорами рассчитывается на скол от перерезывающих сил. Калькулятор при расчете стропила на жесткость подбирает размеры сечения в месте максимального прогиба. Так как максимальный прогиб будет находиться на более длинном пролете, калькулятор рассчитывает только этот пролет, а другой игнорирует. Например, первый пролет AB, больше пролета BC. Калькулятор рассчитает сечение в пролете AB, на прочность и жесткость (на прогиб), а в сечение в пролете BC только на прочность. И наоборот если второй пролет будет больше первого, то на прочность и жесткость будет рассчитываться второй пролет, а первый только на прочность. При подборе доски для изготовления стропила все равно будет выбрана доска по наибольшим размерам рассчитанных сечений. Исследовать жесткость более короткого пролета нет смысла. Калькулятор в таблице рассчитанных сечений поставит прочерк для этой характеристики.

Расчет на прочность

1. Расчетная равномерно распределенная нагрузка, действующая по площади крыши Qр (кг/м²) умножением на шаг установки стропил L (м) переводится в линейную, действующую на одно стропило qр (кг/м).

qр = Qр × L

2. Определяется момент изгиба Mb (кг×м) над прогоном. Он рассчитывается по формуле:

Mb = qр(P1³ - P2³) / 8·P

3. Определяются реакции опор (кг) горизонтальной проекции стропила по формулам:

Ta = 0,5·qр·P1 - Mb / P1
Tc = 0,5·qр·P2 - Mb / P2
Tb = 0,5·qр·P + Mb·P / P1·P2

4. Максимальные изгибающие моменты в пролетах находится в точках xпр1 = Ta / qр и xпр2 = Tc / qр. Длина xпр1 отсчитывается вправо от опоры A, а длина xпр2 влево от опоры C. Формулы для нахождения величины моментов в пролетах:

Mпр1 = Ta·xпр1 - 0,5·qр·x²пр1
Mпр2 = Tс·xпр2 - 0,5·qр·x²пр2

5. Определяются моменты сопротивления сечений доски в пролетах Wпр и на средней опоре Wb (см³) обеспечивающие прочность стропила:

Wпр1 = Mпр1 / Rизг
Wпр2 = Mпр2 / Rизг
Wb = Mb / Rизг

6. Задается толщина b (см) сечения доски стропила и рассчитывается его высота:

hпр1 = √6·Wпр1 / b
hпр2 = √6·Wпр2 / b
hb = √6·Wb / b

На этом расчет стропила на прочность закончен. Задав один из размеров сечения доски пригодной для изготовления стропила получили второй размер. Эти размеры сечений обеспечивают прочность стропила достаточную для выдерживания нагрузки, на которую производился расчет.

Расчет на прогиб

1. Нормативная равномерно распределенная нагрузка, действующая по площади крыши Qн (кг/м²) умножением на шаг установки стропил L (м) переводится в линейную, действующую на одно стропило qн (кг/м).

qн = Qн × L

2. Фактическая длина пролетов стропила, расположенного под углом α, равна:

P = P1 / cosα
P = P2 / cosα

3. Нормируемый прогиб стропила должен быть не более 1/200 длины наибольшего пролета:

f = P / 200
f = P / 200

4. Требуемый момент инерции Ii, при котором стропило не прогнется сверх нормативного предела fн рассчитывается по формуле двухпролетной балки для первого и второго пролета соответственно:

I1 = (x1·((4·Taн·P1² - qн·P1³)) + 4·Taн·x1³ - qн·x1⁴) / (24·E·f·cosα)
I2 = (x2·((4·Tcн·P2² - qн·P2³)) + 4·Tcн·x2³ - qн·x2⁴) / (24·E·f·cosα)

Где Taн и Tcн опорные реакции от нормативной нагрузки:

Taн = 0,5·qн·P1 - Mbн / P1
Tcн = 0,5·qн·P2 - Mbн / P2
Mbн = qн(P1³ - P2³) / 8·P

Значения x1 и x2 показывают расстояние до точки, в которой стропило будет иметь максимальный прогиб. Она находится в первом или втором пролете в зависимости от того который больше. Для первого пролета эта точка отсчитывается вправо от опоры A, для второго — влево от опоры C. Для нахождения точек x1 и x2 нужно решить кубические уравнения:

qн·x1³ / 6·E·I - Taн ·x1² / 2·E·I + (4·Taн·P1² - qн·P1³) / 24·E·I = 0
qн·x2³ / 6·E·I - Tcн ·x2² / 2·E·I + (4·Tcн·P2² - qн·P2³) / 24·E·I = 0

Решение уравнений с неизвестным в третей степени сложная задача. Если вы будете проверять калькулятор, то воспользуйтесь онлайн-сервисами, они есть в интернете. Калькулятор решает эти уравнения в процессе расчета стропила.

5. Задаемся той же толщиной b сечения стропила, которую брали в расчете на прочность и вычислим высоту сечения hif для наибольшего пролета

h1f = ³√12·I1 / b
h2f = ³√12·I2 / b

На этом расчет на прогиб закончен. Получили еще один результат значений высоты сечения стропила. Эти размеры сечения обеспечивают жесткость стропила достаточную для того, чтобы стропило не прогнулось под нагрузкой сверх допустимого.

Расчет на срез (скалывание)

1. Находим величину максимальных перерезывающих сил, действующих перпендикулярно оси стропила Т (кг). Они располагаются на опорах и находится по формулам:

Taα = Ta × cosα
Tcα = Tc × cosα
Tbα = Tb × cosα

2. Рассчитываем высоту сечений на опорах:

ha = 1,5·Taα / (Rс·b)
hc = 1,5·Tcα / (Rс·b)
hb = 1,5·Tbα / (Rс·b)

На этом расчет на срез закончен. Получили третий результат значений высот сечения стропила. При соблюдении этих размеров расчетная нагрузка не перережет стропило в местах опирания.

Проверка

Размеры сечений hi и b теперь известны проверим правильно ли они определены. hi — это высота сечений в пролетах и на опорах полученная расчетом.

Примечание. Калькулятор проверяет размеры сечений на опорах, отдельно в месте действия максимального момента и отдельно в месте максимального прогиба.

1. Рассчитаем момент сопротивления Wi (см³) и момент инерции Ii (см⁴) стропила в пролетах и над опорой B (над прогоном).

W1пр = b × h1пр² / 6
I1пр = b × h1пр³ / 12
W2пр = b × h2пр² / 6
I2пр = b × h2пр³ / 12
Wb = b × hb² / 6
Ib = b × hb³ / 12

2. Рассчитаем напряжения σ (кг/см²), в пролете стропила и над прогоном, возникающие от его изгиба и сравним его с предельно допустимым расчетным сопротивлением изгибу Rизг (кг/см²).

σпр = (M1пр / W1пр) ≤ Rизг
σпр = (M2пр / W2пр) ≤ Rизг
σопB = (Mb / Wb) ≤ Rизг

Если σ не превышает Rизг значит сечения рассчитаны, верно. В них не возникнет напряжений способных разрушить стропило.

3. Рассчитаем прогиб стропила f (см) в наибольшем пролете и сравним его с предельно допустимым fн (см)

f1 = (x1·((4·Taн·P1² - qн·P1³)) + 4·Taн·x1³ - qн·x1⁴) / (24·E·I1·cosα)
f2 = (x2·((4·Tcн·P2² - qн·P2³)) + 4·Tcн·x2³ - qн·x2⁴) / (24·E·I2·cosα)

Расчетные прогибы должны быть меньше или равными нормативному прогибу: f1 ≤ f и f2 ≤ f.

Если расчетные прогибы fi не превышают предельно допустимого f значит сечение рассчитано верно. Стропило не прогнется сверх нормируемого прогиба.

4. Рассчитаем статический момент Si (см³) сдвигаемой части сечения над опорами A, B и C.

Sa = b × ha² / 8
Sb = b × hb² / 8
Sc = b × hc² / 8

5. Рассчитаем момент инерции Ii (см⁴) сечений стропила над опорами A и C.

Ia = b × ha³ / 12
Ic = b × hc³ / 12

6. Рассчитаем срезающие напряжения над опорами σск (кг/см²) и сравним их с предельно допустимым напряжением скалывания Rск (кг/см²)

σскa = Ta × Sa / (Ia × b)
σскb = Tb × Sb / (Ib × b)
σскc = Tc × Sc / (Ic × b)
σскa, b, c ≤ Rск

Если расчетные напряжения скалывания σск не превышают предельно допустимого Rск значит сечения рассчитано, верно. В них не возникнет напряжений способных срезать стропило на опоре.

Итог

1. Итак, получили пять варианта размера сечений каждый из которых не допускает разрушение стропила для своего рода условий: прочности, жесткости, среза. Необходимо сравнить эти размеры и выбрать наибольшие для пролета и для опор.

2. Для коротких стропил под большой нагрузкой расчет на срез может показать высоту сечения на опоре больше, чем в пролете. Тогда за основу берется высота сечения на опоре относительно которой увеличивается высота доски в пролете. Так чтобы эта высота позволила сделать в стропиле вырез для опоры на коньковый прогон, а высота сечения над вырезом осталась не меньше расчетной. В этом случае глубина выреза для опоры на прогон делается примерно равной 1/4 высоты стропила.

Высота стропила над опорой

3. Размеры сечений сравниваются с размерами досок, изготавливающихся на лесопилках по ГОСТ 24454. Для изготовления стропила выбирается доска из сортамента ГОСТа с шириной и толщиной наиболее близкими (в сторону увеличения) к расчетным размерам сечения.

4. Пересчитываем стропило на прочность, жесткость и срез по тем же формулам которые использовали для проверки рассчитанных сечений, но сейчас подставляем в формулы те размеры сечения, которые показал сортамент ГОСТа. Сравниваем результаты расчета с предельно допустимыми напряжениями и прогибом.